Изобразите схематически график функции $Y = \cos(x) - 1$ на интервале $[- \frac{\pi}{2}; 2\pi]$.

График функции $y = \cos(x) - 1$ на отрезке $[- \frac{\pi}{2}; 2\pi]$ можно построить, следуя нескольким шагам. Давайте разберёмся, как это сделать пошагово:

1. Определение функции

Функция $y = \cos(x) - 1$ — это косинус, сдвинутый вниз на 1 единицу. Косинусная функция $\cos(x)$ имеет период $2\pi$, амплитуду 1, и колеблется между -1 и 1. Если отнять 1 от косинуса, то диапазон значений функции изменится: теперь она будет колебаться от -2 до 0.

2. Построение графика

1. Амплитуда и смещение: Как я уже сказал, амплитуда функции $\cos(x)$ равна 1, а с учётом смещения вниз на 1 единицу, функция будет колебаться в пределах от -2 до 0. То есть минимальное значение функции будет равно -2, а максимальное — 0.

2. Точки пересечения с осью $x$: График пересекает ось $x$ там, где $y = 0$, то есть где $\cos(x) = 1$. Это происходит при $x = 0$ (в начале отрезка) и при $x = 2\pi$ (в конце отрезка).

3. Периодичность: Косинусная функция имеет период $2\pi$, следовательно, график будет повторяться через каждые $2\pi$ единицы. Но так как отрезок $[- \frac{\pi}{2}; 2\pi]$ имеет длину $2\pi + \frac{\pi}{2}$, график покажет полное колебание и ещё часть второго периода.

3. Ключевые точки на графике

• $x = - \frac{\pi}{2}$, значение $\cos(- \frac{\pi}{2}) = 0$, значит, $y = -1$.
• $x = 0$, значение $\cos(0) = 1$, значит, $y = 0$.
• $x = \frac{\pi}{2}$, значение $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, значит, $y = -1$.
• $x = \pi$, значение $\cos(\pi) = -1$, значит, $y = -2$.
• $x = \frac{3\pi}{2}$, значение $\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$, значит, $y = -1$.
• $x = 2\pi$, значение $\cos(2\pi) = 1$, значит, $y = 0$.

4. Схема графика

На отрезке $[- \frac{\pi}{2}; 2\pi]$ график будет выглядеть следующим образом:

• Начнётся на уровне $y = -1$ в точке $x = - \frac{\pi}{2}$.
• Поднимется до $y = 0$ в точке $x = 0$.
• Опустится обратно до $y = -1$ в точке $x = \frac{\pi}{2}$.
• Пойдет дальше вниз, достигая $y = -2$ в точке $x = \pi$.
• Затем вернется к $y = -1$ в точке $x = \frac{3\pi}{2}$.
• И завершится на уровне $y = 0$ в точке $x = 2\pi$.

График будет иметь форму волн с минимумом в точке $\pi$ и максимумом в точке $x = 0$ и $x = 2\pi$.

Итог

График функции $y = \cos(x) - 1$ на отрезке $[- \frac{\pi}{2}; 2\pi]$ будет представлять собой волнообразную кривую, начинающуюся на уровне -1, достигать значения 0 в начале и в конце интервала, с минимальным значением -2 в середине интервала.

Надеюсь, это поможет!