Кондитер испек 45 рогаликов. Известно, что 10 рогаликов он полил глазурью и 15 рогаликов посыпал сахарной пудрой. некоторые рогалики могут быть одновременно и с глазурью, и с сахарной пудрой. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.



1. Рогаликов, на которых есть и глазурь, и сахарная пудра, не может оказаться меньше 14.

2. Найдется 20 рогаликов, на которых нет ни глахури, ни сахарной пудры.

3. Рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры, не может оказаться больше 30.

4. Найдется 12 рогаликов, на которых и глазурь, и сахарная пудра.

Для того чтобы правильно ответить на этот вопрос, нужно воспользоваться принципами теории множеств, а также провести анализ данных, исходя из условий задачи.

Итак, у нас есть 45 рогаликов, и мы знаем следующее:

• 10 рогаликов покрыты глазурью.
• 15 рогаликов покрыты сахарной пудрой.
• Некоторые рогалики могут быть и с глазурью, и с сахарной пудрой.

Предположим, что:

• $A$ — это множество рогаликов с глазурью (их 10).
• $B$ — это множество рогаликов с сахарной пудрой (их 15).

Нам нужно рассмотреть пересечение этих множеств — рогаликов, которые одновременно покрыты и глазурью, и сахарной пудрой.

1. Рогаликов, на которых есть и глазурь, и сахарная пудра, не может оказаться меньше 14.

Для того чтобы утверждение было ложным, количество рогаликов, которые одновременно имеют глазурь и сахарную пудру, должно быть меньше 14. Однако, если мы вычтем из 45 общее количество рогаликов, которые не имеют ни глазури, ни пудры (что не может быть больше 30, как увидим ниже), то остаются рогалики, которые должны иметь хотя бы глазурь или пудру, и их количество будет не меньше 14. Это утверждение верно.

2. Найдется 20 рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры.

Если 10 рогаликов имеют глазурь, а 15 — сахарную пудру, то максимальное количество рогаликов, которые могут не иметь ни глазури, ни пудры, равно 45 минус максимум объединения этих двух множеств. Максимальное объединение этих двух множеств составляет 25 рогаликов (если все рогалики, покрытые глазурью, одновременно покрыты сахарной пудрой, что тоже возможно). Значит, максимальное количество рогаликов, которые не имеют ни глазури, ни пудры, — это 45 − 25 = 20. Таким образом, утверждение верно.

3. Рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры, не может оказаться больше 30.

Как мы уже выяснили, максимальное количество рогаликов, которые могут не иметь ни глазури, ни пудры, равно 20, что, конечно, меньше 30. Это утверждение тоже верно.

4. Найдется 12 рогаликов, на которых и глазурь, и сахарная пудра.

Чтобы утверждение было верным, количество рогаликов, которые одновременно покрыты и глазурью, и сахарной пудрой, должно быть хотя бы 12. Это количество может быть меньше 12, в зависимости от того, сколько рогаликов попало в пересечение этих двух множеств. Например, если всего 10 рогаликов покрыты глазурью, и все они покрыты сахарной пудрой, то пересечение будет равно 10. Следовательно, утверждение не всегда верно, оно может быть ложным.

Ответ:

Верны следующие утверждения:

• 1. Рогаликов, на которых есть и глазурь, и сахарная пудра, не может оказаться меньше 14.
• 2. Найдется 20 рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры.
• 3. Рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры, не может оказаться больше 30.