В классе учится 20 человек, из них 13 человек посещают кружок по истории, а 10 — кружок по математике. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях. 1) Каждый ученик этого класса посещает оба кружка. 2) Если ученик из этого классаходит на кружок по истории, то онобязательно ходит на кружок по математике. 3) Найдутся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка. 4) Не найдётся 11 человек из этого класса, которые посещают оба кружка. В ответе запишите номера выбранных утверждений.

Давайте внимательно разберем каждое утверждение, исходя из данных задачи.

Дано:

• Всего учеников в классе: 20.
• Посещают кружок по истории: 13 человек.
• Посещают кружок по математике: 10 человек.

Мы понимаем, что часть учеников могут посещать оба кружка. Обозначим:

• $A$ — ученики, посещающие кружок по истории.
• $B$ — ученики, посещающие кружок по математике.
• $|A \cap B|$ — количество учеников, которые посещают оба кружка.

Для решения воспользуемся формулой для объединения множеств:

где $|A \cup B|$ — общее количество учеников, посещающих хотя бы один кружок.

Из условия:

Подставляем числа:

Следовательно, хотя бы 3 ученика посещают оба кружка.

Теперь проверим каждое утверждение:

Утверждение 1:

"Каждый ученик этого класса посещает оба кружка."

Для этого утверждения должно выполняться $|A \cap B| = 20$. Однако мы выяснили, что $|A \cap B| \geq 3$, но оно явно меньше 20, так как в задаче сказано, что есть ученики, которые посещают только кружок по истории ($13 - |A \cap B|$) или только кружок по математике ($10 - |A \cap B|$).

Вывод: Утверждение неверно.

Утверждение 2:

"Если ученик из этого класса ходит на кружок по истории, то он обязательно ходит на кружок по математике."

Это утверждение верно, если все ученики, посещающие кружок по истории ($|A| = 13$), также входят в кружок по математике ($B$). Это означает, что $A \subseteq B$, а $|A \cap B| = |A| = 13$. Однако из наших расчетов $|A \cap B| \geq 3$, но нет информации, чтобы утверждать, что $|A \cap B| = 13$. Более того, в задаче подразумевается, что $A \not\subseteq B$, так как количество всех учеников равно 20, а не 13.

Вывод: Утверждение неверно.

Утверждение 3:

"Найдутся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка."

Мы установили, что $|A \cap B| \geq 3$. Следовательно, в классе есть хотя бы три ученика, которые посещают оба кружка. Это утверждение верно.

Вывод: Утверждение верно.

Утверждение 4:

"Не найдётся 11 человек из этого класса, которые посещают оба кружка."

Мы знаем, что $|A \cap B| \geq 3$, но $|A \cap B| \leq \min(|A|, |B|) = 10$. Следовательно, $|A \cap B|$ не может быть равным 11 или больше.

Вывод: Утверждение верно.

Ответ:

Верные утверждения: 3, 4.