Кубик бросают 7 раз. Случайная величина $z$ представляет собой количество раз, когда на кубике выпала единица. Найдите вероятность того, что $z = 1$.

Для решения этой задачи используем биномиальное распределение, так как каждое бросание кубика – это независимое испытание с двумя возможными исходами: выпадение единицы (успех) или не выпадение единицы (неудача).

1. Определяем параметры биномиального распределения:

• Количество испытаний: $n = 7$ (кубик бросают 7 раз).
• Вероятность успеха (выпадение 1): $p = \frac{1}{6}$.
• Вероятность неудачи (не выпадение 1): $q = 1 - p = \frac{5}{6}$.

Случайная величина $Z$ (число выпадений единицы) имеет биномиальное распределение:

где:

• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – число сочетаний,
• $k = 1$ – нас интересует вероятность, что единица выпадет ровно 1 раз.

2. Подставляем значения:

3. Вычисляем вероятность:

Сначала вычислим $\left(\frac{5}{6}\right)^6$:

Теперь умножаем:

4. Ответ:

Таким образом, вероятность того, что единица выпадет ровно 1 раз за 7 бросков, составляет примерно 39.06%.