2³⁹⁰ < n² < 3³²⁰. Для каких натуральных n выполняется это неравенство?

Рассмотрим данное неравенство:

1. Найдем границы для $n$

Так как $n^2$ должно находиться между $2^{390}$ и $3^{320}$, возьмём квадратные корни из всех частей неравенства:

Используем свойства степеней:

Следовательно, мы получили:

2. Определяем множество допустимых значений $n$

Так как $n$ — натуральное число, оно должно быть целым и находиться в указанном диапазоне. Натуральными числами, которые удовлетворяют этому неравенству, являются все целые числа от $2^{195} + 1$ до $3^{160} - 1$.

3. Итоговый ответ

Натуральные числа $n$, для которых выполняется неравенство $2^{390} < n^2 < 3^{320}$, принадлежат диапазону:

Или, в краткой записи:

То есть все натуральные числа, находящиеся между $2^{195}$ и $3^{160}$.