Сколько существует различных трёхзначных чисел, записанных в четверичной системе счисления, сумма первой и последней цифры которых строго больше цифры, стоящей посередине?

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся поэтапно.

Число в четверичной системе счисления состоит из трёх цифр, каждая из которых может принимать значения от 0 до 3 (так как в четверичной системе цифры варьируются от 0 до 3). То есть, для числа вида $abc_4$, где $a$, $b$ и $c$ — цифры в четверичной системе счисления, мы можем выразить это число как:

Нам нужно найти количество таких чисел, где сумма первой и последней цифры строго больше цифры в середине. Это условие можно записать как:

Теперь рассмотрим все возможные значения для $a$, $b$ и $c$.

Шаг 1: Разберемся с возможными значениями для цифр.

Цифры $a$, $b$ и $c$ могут быть равны 0, 1, 2 или 3. Это значит, что каждая из этих цифр может принимать 4 различных значения.

Шаг 2: Переберем все возможные комбинации для $a$, $b$ и $c$, удовлетворяющие условию $a + c > b$.

Для каждого значения $a$ и $c$, мы определим, сколько значений $b$ можно выбрать, чтобы выполнялось условие $a + c > b$.

Рассмотрим возможные значения для $a$ и $c$:

1. Если $a = 0$:

   • $a + c = 0 + c = c$.
   • Условие $c > b$ значит, что $b$ должно быть меньше $c$. Возможные значения для $b$:
     • Если $c = 0$, то нет таких $b$, так как $0 > b$ невозможно.
     • Если $c = 1$, то $b$ может быть только 0.
     • Если $c = 2$, то $b$ может быть 0 или 1.
     • Если $c = 3$, то $b$ может быть 0, 1 или 2.

2. Если $a = 1$:

   • $a + c = 1 + c$.
   • Условие $1 + c > b$ значит, что $b$ должно быть меньше $1 + c$. Возможные значения для $b$:
     • Если $c = 0$, то $b$ может быть 0.
     • Если $c = 1$, то $b$ может быть 0, 1.
     • Если $c = 2$, то $b$ может быть 0, 1, 2.
     • Если $c = 3$, то $b$ может быть 0, 1, 2 или 3.

3. Если $a = 2$:

   • $a + c = 2 + c$.
   • Условие $2 + c > b$ значит, что $b$ должно быть меньше $2 + c$. Возможные значения для $b$:
     • Если $c = 0$, то $b$ может быть 0, 1.
     • Если $c = 1$, то $b$ может быть 0, 1, 2.
     • Если $c = 2$, то $b$ может быть 0, 1, 2, 3.
     • Если $c = 3$, то $b$ может быть 0, 1, 2, 3.

4. Если $a = 3$:

   • $a + c = 3 + c$.
   • Условие $3 + c > b$ значит, что $b$ должно быть меньше $3 + c$. Возможные значения для $b$:
     • Если $c = 0$, то $b$ может быть 0, 1, 2.
     • Если $c = 1$, то $b$ может быть 0, 1, 2, 3.
     • Если $c = 2$, то $b$ может быть 0, 1, 2, 3.
     • Если $c = 3$, то $b$ может быть 0, 1, 2, 3.

Шаг 3: Подсчитаем количество подходящих чисел.

Теперь подсчитаем количество чисел для каждого случая:

• Когда $a = 0$:

  • Для $c = 0$ — 0 возможных значений для $b$.
  • Для $c = 1$ — 1 возможное значение для $b$.
  • Для $c = 2$ — 2 возможных значения для $b$.
  • Для $c = 3$ — 3 возможных значения для $b$.
  • Всего: $0 + 1 + 2 + 3 = 6$.

• Когда $a = 1$:

  • Для $c = 0$ — 1 возможное значение для $b$.
  • Для $c = 1$ — 2 возможных значения для $b$.
  • Для $c = 2$ — 3 возможных значения для $b$.
  • Для $c = 3$ — 4 возможных значения для $b$.
  • Всего: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$