Сколько существует трёхзначных чисел, у которого соседние цифры разные?

Для того чтобы найти количество трёхзначных чисел, у которых соседние цифры разные, давайте разобьём задачу на несколько этапов.

1. Определение структуры трёхзначного числа: Трёхзначное число состоит из трёх цифр: сотен (первая цифра), десятков (вторая цифра) и единиц (третья цифра). Нам нужно, чтобы цифры соседних разрядов отличались друг от друга.

2. Выбор цифры для сотен: Первая цифра (сотни) может быть любая цифра от 1 до 9, потому что трёхзначное число не может начинаться с нуля. То есть на выбор для первой цифры у нас есть 9 вариантов.

3. Выбор цифры для десятков: Вторая цифра (десятки) должна отличаться от первой (сотни). Так как цифры могут быть от 0 до 9, но мы исключаем цифру, которая уже выбрана для сотен, остаётся 9 вариантов для десятков.

4. Выбор цифры для единиц: Третья цифра (единицы) должна отличаться от второй цифры (десятков). Так как вторая цифра уже определена, остаётся 9 вариантов для третьей цифры.

5. Общий расчёт: Теперь, чтобы найти общее количество таких чисел, мы перемножим количество возможных вариантов для каждой цифры:

   $$9 \, (\text{для сотен}) \times 9 \, (\text{для десятков}) \times 9 \, (\text{для единиц}) = 729.$$

Таким образом, существует 729 трёхзначных чисел, у которых соседние цифры разные.