Решите уравнение \( x^3 + 5x^2 - x - 5 = 0 \). Напишите в ответ произведение этих корней.

Чтобы решить уравнение $x^3 + 5x^2 - x - 5 = 0$, начнём с поиска возможных рациональных корней с использованием теоремы о рациональных корнях. Она утверждает, что рациональные корни уравнения могут быть числами вида $\pm \frac{a}{b}$, где $a$ — это делители свободного члена, а $b$ — делители старшего коэффициента.

В нашем случае уравнение имеет вид $x^3 + 5x^2 - x - 5 = 0$, и:

• Свободный член — $-5$,

• Старший коэффициент — $1$.

Делителями $-5$ являются: $\pm 1, \pm 5$.

Проверим эти значения, подставляя их в уравнение.

1. Подставим $x = 1$:

   $$1^3 + 5 \cdot 1^2 - 1 - 5 = 1 + 5 - 1 - 5 = 0.$$

   Значит, $x = 1$ — корень уравнения.

Теперь, зная, что $x = 1$ — корень, мы можем разложить исходное кубическое уравнение на множители, используя $x - 1$ как один из множителей. Для этого выполним деление многочлена $x^3 + 5x^2 - x - 5$ на $x - 1$ с помощью деления многочленов.

После деления получим:

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 + 6x + 5 = 0$. Для этого используем формулу дискриминанта:

Корни квадратного уравнения:

Таким образом, корни:

Итак, все корни уравнения $x^3 + 5x^2 - x - 5 = 0$ — это $x = 1, -1, -5$.

Теперь найдём произведение этих корней:

Ответ: произведение корней уравнения равно $5$.