Под корнем 2х - 1 = х - 2.

Для решения уравнения под корнем $2x - 1 = x - 2$, давайте пошагово разберём, как действовать:

1. Изолируем корень: У нас есть уравнение вида $\sqrt{2x - 1} = x - 2$. Чтобы избавиться от корня, нужно возвести обе части уравнения в квадрат.

2. Возведение обеих сторон в квадрат: $(\sqrt{2x - 1})^2 = (x - 2)^2$. Получаем:

   $$2x - 1 = (x - 2)^2.$$

3. Раскрываем квадрат: Раскроем правую часть уравнения:

   $$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4.$$

   Подставляем это обратно в уравнение:

   $$2x - 1 = x^2 - 4x + 4.$$

4. Приводим к квадратному уравнению: Переносим все члены на одну сторону уравнения:

   $$0 = x^2 - 4x + 4 - 2x + 1.$$

   Упростим:

   $$0 = x^2 - 6x + 5.$$

5. Решаем квадратное уравнение: Мы получаем квадратное уравнение:

   $$x^2 - 6x + 5 = 0.$$

   Решаем его с помощью дискриминанта. Дискриминант $\Delta$ для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

   $$\Delta = b^2 - 4ac.$$

   Здесь $a = 1$, $b = -6$, $c = 5$:

   $$\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16.$$

   Теперь находим корни с помощью формулы:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}.$$

   Подставляем значения:

   $$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 4}{2}.$$

   Получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1.$$

6. Проверяем решения: Теперь нужно проверить, какие из этих корней подходят для исходного уравнения $\sqrt{2x - 1} = x - 2$.

   • Для $x_1 = 5$: Подставляем в исходное уравнение:

     $$\sqrt{2 \cdot 5 - 1} = 5 - 2 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{10 - 1} = 3 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{9} = 3.$$

     Условие выполняется, значит, $x_1 = 5$ — это решение.

   • Для $x_2 = 1$: Подставляем в исходное уравнение:

     $$\sqrt{2 \cdot 1 - 1} = 1 - 2 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{2 - 1} = -1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{1} = -1.$$