Решить иррациональное уравнение √(3x + 1) = x - 1

Чтобы решить иррациональное уравнение √(3x + 1) = x - 1, следуем поэтапно:

1. Определим область допустимых значений:

   В уравнении есть квадратный корень, а значит, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. То есть:

   $$3x + 1 \geq 0$$

   Решим неравенство:

   $$3x \geq -1 \quad \Rightarrow \quad x \geq -\frac{1}{3}$$

   Таким образом, область допустимых значений — $x \geq -\frac{1}{3}$.

2. Избавимся от квадратного корня:

   Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

   $$(\sqrt{3x + 1})^2 = (x - 1)^2$$

   Получим:

   $$3x + 1 = (x - 1)^2$$

   Раскроем скобки:

   $$3x + 1 = x^2 - 2x + 1$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$0 = x^2 - 2x + 1 - 3x - 1$$

   Упростим выражение:

   $$0 = x^2 - 5x$$

   Это можно записать как:

   $$x(x - 5) = 0$$

   Таким образом, получаем два возможных корня:

   $$x = 0 \quad \text{или} \quad x = 5$$

3. Проверка корней:

   Теперь проверим, подходят ли найденные корни к исходному уравнению:

   • Для $x = 0$: Подставим $x = 0$ в исходное уравнение:

     $$\sqrt{3(0) + 1} = 0 - 1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{1} = -1$$

     Это не выполняется, так как квадратный корень не может быть отрицательным. Значит, $x = 0$ — это не решение.

   • Для $x = 5$: Подставим $x = 5$ в исходное уравнение:

     $$\sqrt{3(5) + 1} = 5 - 1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{15 + 1} = 4 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{16} = 4$$

     Это верно, так как обе части равенства равны 4. Следовательно, $x = 5$ — это решение.

4. Ответ:

   Единственным решением уравнения является $x = 5$.