1.Решить уравнение. а) 7^x-3 = 7^3x+1 b) 5^11-x = 5^x-9 c) 6^x-8 = 36^x-18 d) 6^12-x = 36^x

Для решения данных уравнений воспользуемся основными свойствами степеней и логарифмов.

а) $7^{x-3} = 7^{3x+1}$

1. Применим логарифмы по основанию 7. Так как обе части уравнения имеют одинаковое основание (7), можно приравнять показатели степеней:

   $$x - 3 = 3x + 1$$

2. Решим полученное линейное уравнение. Переносим все термины с $x$ в одну сторону:

   $$x - 3x = 1 + 3$$ $$-2x = 4$$ $$x = -2$$

b) $5^{11 - x} = 5^{x - 9}$

1. Применим логарифмы по основанию 5. Опять-таки, так как основание одинаковое, приравниваем показатели степеней:

   $$11 - x = x - 9$$

2. Решим линейное уравнение. Переносим все термины с $x$ в одну сторону:

   $$11 + 9 = x + x$$ $$20 = 2x$$ $$x = 10$$

c) $6^{x - 8} = 36^{x - 18}$

1. Приведем 36 к степени с основанием 6. Замечаем, что $36 = 6^2$, и можно записать уравнение как:

   $$6^{x - 8} = (6^2)^{x - 18}$$ $$6^{x - 8} = 6^{2(x - 18)}$$

2. Приравняем показатели степеней.

   $$x - 8 = 2(x - 18)$$

3. Решим полученное линейное уравнение. Раскроем скобки:

   $$x - 8 = 2x - 36$$

   Переносим все термины с $x$ в одну сторону:

   $$x - 2x = -36 + 8$$ $$-x = -28$$ $$x = 28$$

d) $6^{12 - x} = 36^x$

1. Приведем 36 к степени с основанием 6. $36 = 6^2$, и уравнение будет выглядеть так:

   $$6^{12 - x} = (6^2)^x$$ $$6^{12 - x} = 6^{2x}$$

2. Приравняем показатели степеней.

   $$12 - x = 2x$$

3. Решим линейное уравнение. Переносим все термины с $x$ в одну сторону:

   $$12 = 3x$$ $$x = 4$$

Ответы:

• а) $x = -2$

• б) $x = 10$

• в) $x = 28$

• г) $x = 4$