Решите уравнение (x−2)(x−3)(x−5)=(x−2)(x−4)(x−5).

Для решения уравнения $(x−2)(x−3)(x−5)=(x−2)(x−4)(x−5)$, давайте сначала упростим его шаг за шагом.

Шаг 1: Упростим уравнение

Исходное уравнение:

Обратите внимание, что на обеих сторонах уравнения есть общий множитель $(x - 2)$ и $(x - 5)$. Мы можем их "вычеркнуть", но при этом должны учесть, что это допустимо только в случае, если $x \neq 2$ и $x \neq 5$, потому что при этих значениях множители становятся равными нулю, и делить на ноль нельзя.

Если $x \neq 2$ и $x \neq 5$, то уравнение сводится к:

Шаг 2: Решим упрощённое уравнение

Теперь решим уравнение:

В этом уравнении обе стороны содержат $x$, и если мы вычтем $x$ с обеих сторон, то получим:

Это противоречие, потому что $-3$ не может быть равно $-4$. Следовательно, уравнение не имеет решения при $x \neq 2$ и $x \neq 5$.

Шаг 3: Учтём значения $x = 2$ и $x = 5$

Теперь проверим, что происходит, если $x = 2$ или $x = 5$:

• Если $x = 2$, то исходное уравнение становится:

  $$(2−2)(2−3)(2−5) = (2−2)(2−4)(2−5)$$

  Обе стороны содержат множитель $(2-2) = 0$, и результат будет равен нулю с обеих сторон, что означает, что $x = 2$ является решением.

• Если $x = 5$, то исходное уравнение становится:

  $$(5−2)(5−3)(5−5) = (5−2)(5−4)(5−5)$$

  Здесь также присутствует множитель $(5-5) = 0$, и обе стороны уравнения равны нулю. Следовательно, $x = 5$ тоже является решением.

Шаг 4: Итог

Таким образом, уравнение имеет два решения: $x = 2$ и $x = 5$.