Решить уравнение методом разложения на множители: \(x^3 + x^2 - x - 1 = 0\).

Решим уравнение методом разложения на множители:

Шаг 1: Группировка

Попробуем сгруппировать члены так, чтобы вынести общий множитель:

Теперь вынесем общий множитель из каждой группы:

Видим, что $(x + 1)$ — общий множитель. Вынесем его за скобки:

Шаг 2: Разложение разности квадратов

Во втором множителе стоит выражение $x^2 - 1$, которое является разностью квадратов:

Тогда всё уравнение примет вид:

Или:

Шаг 3: Решение уравнения

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

Решим:

1. $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$ (двукратный корень, так как квадрат)

2. $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

Ответ:

То есть, все корни уравнения: $x = -1$, $x = -1$, $x = 1$.