Решите уравнение \( x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0 \) разложением его левой части на множители.

Для того чтобы решить уравнение $x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0$ разложением левой части на множители, давайте попробуем применить метод выделения общего множителя и поиск корней.

1. Исследуем вид уравнения: Уравнение имеет вид: $x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0$.

2. Пытаемся выделить общие множители: Разделим выражение на две группы:

   $$(x^3 + 3x^2) - (x + 3)$$

3. В первой группе ( $x^3 + 3x^2$ ) можно вынести $x^2$:

   $$x^2(x + 3)$$

   Во второй группе $-(x + 3)$, мы можем вынести $-1$:

   $$-(x + 3)$$

4. Теперь у нас получилось:

   $$x^2(x + 3) - (x + 3)$$

5. Вынесем общий множитель $(x + 3)$:

   $$(x + 3)(x^2 - 1)$$

6. Далее, $x^2 - 1$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов:

   $$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$

7. Таким образом, полное разложение уравнения на множители:

   $$(x + 3)(x - 1)(x + 1) = 0$$

8. Теперь решаем уравнение: Для того чтобы произведение было равно нулю, один из множителей должен быть равен нулю. Решаем каждый из множителей:

   • $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$

   • $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

   • $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

9. Ответ: Корни уравнения $x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0$ — это $x = -3, x = 1, x = -1$.