что такое НОК и НОД и как они решаются?

НОК и НОД — это два математических понятия, которые связаны с числами и часто используются в задачах на нахождение общих свойств чисел. Давайте разберем каждое из них.

НОД (Наибольший Общий Делитель)

НОД двух чисел — это наибольшее число, которое делит оба этих числа без остатка. Например, если взять числа 12 и 18, то наибольший общий делитель этих чисел — это 6, так как 6 — наибольшее число, которое делит и 12, и 18.

Как решается задача на нахождение НОД:

1. Метод деления с остатком (или алгоритм Евклида) — самый эффективный способ нахождения НОД. Суть метода: делим большее число на меньшее, затем делим остаток от деления на меньшее число, и так продолжаем, пока остаток не станет равным нулю. Последнее ненулевое число и будет НОД.

   Пример: Найдем НОД для чисел 48 и 18. 48 делим на 18 — остаток 12. 18 делим на 12 — остаток 6. 12 делим на 6 — остаток 0. Последний ненулевой остаток — 6, значит, НОД(48, 18) = 6.

2. Разложение на простые множители — этот метод заключается в том, чтобы разложить оба числа на простые множители, а затем выбрать общие множители и умножить их между собой.

НОК (Наименьшее Общее Кратное)

НОК двух чисел — это наименьшее число, которое одновременно делится на оба этих числа. Например, для чисел 6 и 8 НОК будет равно 24, так как 24 — наименьшее число, которое делится и на 6, и на 8.

Как решается задача на нахождение НОК:

1. Через НОД. НОК и НОД связаны между собой формулой:

   $$НОК(a, b) = \frac{|a \times b|}{НОД(a, b)}$$

   То есть, чтобы найти НОК, нужно перемножить два числа и разделить на их НОД.

   Пример: Найдем НОК для чисел 12 и 18. Сначала находим НОД(12, 18), который равен 6. Тогда НОК(12, 18) = $\frac{|12 \times 18|}{6} = \frac{216}{6} = 36$.

2. Через разложение на простые множители. Этот метод похож на нахождение НОД, но в случае НОК нужно взять все простые множители, которые встречаются в разложениях обоих чисел, и умножить их с учетом максимальной степени каждого из множителей.

Таким образом, НОД и НОК являются важными инструментами в теории чисел и решаются с использованием нескольких методов, из которых наиболее популярны алгоритм Евклида для НОД и использование формулы через НОД для НОК.