Как найти НОД и НОК

Для того чтобы найти НОД (наибольший общий делитель) и НОК (наименьшее общее кратное) двух или более чисел, нужно следовать определённым методам. Рассмотрим подробнее каждый из них.

НОД (Наибольший общий делитель)

НОД — это наибольшее число, на которое делятся оба заданных числа без остатка.

Алгоритм нахождения НОД:

1. Метод деления с остатком (алгоритм Евклида): Этот метод базируется на следующем принципе: НОД двух чисел a и b равен НОД числа b и остатка от деления a на b. Алгоритм выглядит так:

   • Делим большее число на меньшее.

   • Находим остаток.

   • Вместо большего числа подставляем меньшее, а вместо меньшего — остаток от деления.

   • Повторяем процесс, пока остаток не станет равным нулю. Когда это произойдёт, меньшее число и будет НОД.

   Пример: Пусть даны числа 48 и 18:

   • 48 ÷ 18 = 2, остаток 12

   • 18 ÷ 12 = 1, остаток 6

   • 12 ÷ 6 = 2, остаток 0 Следовательно, НОД(48, 18) = 6.

2. Другой способ — разложить оба числа на простые множители и выбрать все общие множители с наибольшими показателями степени. Умножив их, получим НОД.

НОК (Наименьшее общее кратное)

НОК — это наименьшее число, которое одновременно делится на все заданные числа.

Алгоритм нахождения НОК:

1. Использование формулы через НОД: Есть простая формула для вычисления НОК через НОД двух чисел a и b:

   $$НОК(a, b) = \frac{|a \times b|}{НОД(a, b)}$$

   То есть, чтобы найти НОК, нужно перемножить числа и разделить на их НОД.

   Пример: Для чисел 48 и 18:

   • Сначала находим НОД(48, 18) = 6 (по алгоритму Евклида, как мы делали выше).

   • Затем находим НОК:

     $$НОК(48, 18) = \frac{|48 \times 18|}{6} = \frac{864}{6} = 144$$

     Следовательно, НОК(48, 18) = 144.

2. Через разложение на простые множители: Можно разложить оба числа на простые множители, а затем взять все простые множители, встречающиеся в разложениях, с наибольшими степенями. После этого перемножаем их.

   Пример:

   • Разложим 48 и 18:

     • 48 = $2^4 \times 3$

     • 18 = $2 \times 3^2$

   • Для НОК возьмём максимальные степени каждого простого числа:

     • $2^4$ (максимум из $2^4$ и $2^1$)

     • $3^2$ (максимум из $3^1$ и $3^2$)

   • Получим:

     $$НОК = 2^4 \times 3^2 = 16 \times 9 = 144$$

     Это также даёт результат НОК(48, 18) = 144.

Заключение:

• НОД можно найти с помощью алгоритма Евклида или разложения чисел на простые множители.

• НОК можно найти через НОД или также через разложение на простые множители.

Эти методы работают для любых двух чисел. Если нужно найти НОД или НОК для большего количества чисел, то аналогично можно применить алгоритмы для пары чисел, последовательно находя НОД или НОК для нескольких чисел.