Найти точки экстремума f(x)=x(в кубе)-x и значение фукции

Для нахождения точек экстремума функции $f(x) = x^3 - x$, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем первую производную функции $f(x)$, чтобы определить критические точки. Для этого воспользуемся стандартными правилами дифференцирования.

   $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - x)$$

   Продифференцируем каждое слагаемое:

   • Производная от $x^3$ равна $3x^2$,

   • Производная от $-x$ равна $-1$.

   Итак, получаем:

   $$f'(x) = 3x^2 - 1$$

2. Приравняем первую производную к нулю для нахождения критических точек:

   $$3x^2 - 1 = 0$$

   Решим это уравнение:

   $$3x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$$

   Таким образом, критические точки: $x_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $x_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

3. Найдем вторую производную, чтобы определить характер критических точек (максимум или минимум). Для этого дифференцируем первую производную $f'(x) = 3x^2 - 1$.

   $$f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 1) = 6x$$

4. Анализируем знак второй производной в критических точках:

   • Для $x_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$, подставляем в $f''(x)$:

     $$f''\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 6 \times \frac{1}{\sqrt{3}} > 0$$

     Это означает, что в точке $x_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ функция имеет минимум.

   • Для $x_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$, подставляем в $f''(x)$:

     $$f''\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 6 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) < 0$$

     Это означает, что в точке $x_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ функция имеет максимум.

5. Найдем значения функции в точках экстремума: Теперь, когда мы знаем, где находятся экстремумы, можно найти значения функции в этих точках.

   • В точке $x_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$