X^5 + x + 1. Нужно разложить на множители.

Рассмотрим многочлен $f(x) = x^5 + x + 1$. Нам нужно разложить его на множители в поле вещественных или рациональных чисел, если это возможно. Я подробно объясню процесс.

Шаг 1: Проверим наличие рациональных корней

Для начала воспользуемся теоремой рациональных корней. Она говорит, что возможные рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами — это дроби вида $\pm \frac{p}{q}$, где:

• $p$ — делитель свободного члена (в нашем случае это $\pm1$),

• $q$ — делитель старшего коэффициента (в нашем случае тоже $\pm1$).

Таким образом, возможные рациональные корни — это всего лишь $\pm1$.

Подставим эти значения:

• $f(1) = 1^5 + 1 + 1 = 3 \neq 0$

• $f(-1) = (-1)^5 + (-1) + 1 = -1 -1 + 1 = -1 \neq 0$

Значит, рациональных корней у многочлена нет, и, следовательно, линейный множитель $(x - r)$ с рациональным $r$ не выделяется.

Шаг 2: Проверим разложение на многочлены степени выше

Раз не удаётся разложить многочлен на линейные множители с рациональными коэффициентами, можно попробовать разложить его на произведение многочленов более высокой степени. Имея степень 5, мы можем попробовать разложить его на:

• произведение трёх многочленов: например, $(x^2 + ax + b)(x^3 + cx^2 + dx + e)$,

• или на два множителя: $(x^2 + ax + b)(x^3 + cx^2 + dx + e)$,

• или проверить, не является ли он неприводимым (то есть не разлагается в поле рациональных чисел).

Шаг 3: Попробуем разложить через деление

Проверим, можно ли разложить его как $(x^2 + ax + b)(x^3 + cx^2 + dx + e)$. Для этого попробуем предположить такие коэффициенты, при которых произведение даст наш исходный многочлен $x^5 + x + 1$.

Пусть:

Перемножим левую часть:

Складываем:

• $x^5$

• $c x^4 + a x^4 = (c + a)x^4$

• $d x^3 + a c x^3 + b x^3 = (d + a c + b) x^3$

• $e x^2 + a d x^2 + b c x^2 = (e + a d + b c)x^2$

• $a e x + b d x = (a e + b d)x$

• $b e$

Сравниваем с $x^5 + x + 1$