Найти корни 9x^2+2|3x+2|=20-12x

Рассмотрим уравнение:

9x² + 2|3x + 2| = 20 − 12x

Наша задача — найти все корни этого уравнения. Давайте разберем его пошагово.

Шаг 1: Переносим всё в одну часть

Приведём уравнение к стандартному виду, перенеся всё в левую часть:

9x² + 2|3x + 2| + 12x − 20 = 0

Теперь уравнение:

9x² + 12x + 2|3x + 2| − 20 = 0

Это уравнение содержит модуль, поэтому решать его нужно по определению модуля — отдельно для каждого случая.

Шаг 2: Раскрытие модуля

Модуль |3x + 2| раскрывается по-разному в зависимости от знака выражения под модулем. Рассмотрим два случая:

Случай 1: 3x + 2 ≥ 0

То есть x ≥ −2/3

В этом случае |3x + 2| = 3x + 2, и уравнение становится:

9x² + 12x + 2(3x + 2) − 20 = 0

Раскроем скобки:

9x² + 12x + 6x + 4 − 20 = 0

Соберем подобные:

9x² + 18x − 16 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = 18² − 4·9·(−16) = 324 + 576 = 900

√D = 30

Теперь корни:

x₁ = (−18 − 30) / (2·9) = −48 / 18 = −8/3
x₂ = (−18 + 30) / (2·9) = 12 / 18 = 2/3

Теперь проверим, какие из них попадают в область x ≥ −2/3:

• x₁ = −8/3 не подходит, т.к. меньше −2/3

• x₂ = 2/3 подходит

Итак, из первого случая возможный корень — x = 2/3

Случай 2: 3x + 2 < 0

То есть x < −2/3

В этом случае |3x + 2| = −(3x + 2), и уравнение становится:

9x² + 12x + 2(−(3x + 2)) − 20 = 0

Раскроем скобки:

9x² + 12x − 6x − 4 − 20 = 0

Соберем подобные:

9x² + 6x − 24 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = 6² − 4·9·(−24) = 36 + 864 = 900

√D = 30

Корни:

x₁ = (−6 − 30) / (2·9) = −36 / 18 = −2
x₂ = (−6 + 30) / (2·9) = 24 / 18 = 4/3

Теперь проверим, какие из них попадают в область x < −2/3:

• x₁ = −2 подходит

• x₂ = 4/3 не подходит

Итак, из второго случая возможный корень — x = −2

Ответ:

Корни уравнения: x = −2 и x = 2/3

Хочешь, чтобы я нарисовал график для наглядности?