Чему равно число Грэма?

Число Грэма — это одно из самых больших чисел, когда-либо появлявшихся в серьёзных математических доказательствах. Его размер настолько велик, что его невозможно выразить с помощью привычной десятичной записи или даже с помощью степеней десяти — оно просто не вмещается ни в какое разумное представление.

Контекст появления

Число Грэма появилось в контексте задачи из области комбинаторной геометрии, связанной с гиперкубами. Математик Рональд Грэм изучал вопрос: если раскрасить рёбра $n$-мерного гиперкуба в два цвета, можно ли гарантировать, что появится определённая конфигурация вершин, все соединённые рёбра которых одного цвета? Для определённого случая этой задачи он доказал, что существует некий верхний предел $n$, при котором конфигурация обязательно возникнет — и этот предел оказался невообразимо большим. Именно этот верхний предел он обозначил как "число Грэма".

Как оно записывается

Число Грэма невозможно записать даже в научной нотации, вроде $10^{10^{10^{10}}}$ — слишком уж оно огромное. Поэтому для его определения используется стрелочная нотация Кнута, которая позволяет компактно описывать очень большие числа. Например:

• $3 \uparrow\uparrow 3 = 3^{3^{3}} = 3^{27} = 7,625,597,484,987$,

• $3 \uparrow\uparrow\uparrow 3$ уже в разы больше — это 3 со степенями, где количество уровней степеней тоже огромное.

Число Грэма определяется с помощью последовательности, начинающейся с $g_1 = 3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3$, а затем каждый следующий член строится по аналогичной схеме, используя предыдущий как количество стрелок между тройками. То есть:

• $g_2 = 3 \uparrow^{g_1} 3$,

• $g_3 = 3 \uparrow^{g_2} 3$,
  и так далее, до $g_{64}$, который и есть число Грэма.

Насколько оно велико?

Просто чтобы почувствовать масштаб: даже $g_1 = 3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3$ — это уже число, которое невозможно полностью представить или записать, поскольку оно содержит степеней больше, чем количество атомов во Вселенной. А число Грэма — это $g_{64}$, где каждая ступень экспоненциально взрывает предыдущее значение.

Почему оно интересно

Число Грэма интересно не только своей величиной. Оно показывает, до какой степени математика может дойти, даже при решении вполне конкретной задачи. Несмотря на его огромный размер, оно конечное и точно определённое, и его даже можно, при желании, частично исследовать — например, известны последние десятки цифр его десятичной записи (что кажется парадоксом, но это связано с определёнными свойствами модулей).

Хочешь узнать, как выглядят последние цифры числа Грэма?