Решить уравнение: \( 2^{8 - x^2} = 4^x \)

Для решения уравнения $2^{8 - x^2} = 4^x$, давайте разберемся с обеими частями.

1. Перепишем правую часть уравнения:
   Заметим, что $4$ можно выразить как степень двойки:

   $$4 = 2^2.$$

   Поэтому, правую часть уравнения $4^x$ можно записать как:

   $$4^x = (2^2)^x = 2^{2x}.$$

   Теперь у нас уравнение:

   $$2^{8 - x^2} = 2^{2x}.$$

2. Приравняем показатели степени:
   Поскольку основания у обеих степеней одинаковые (оба равны 2), можно приравнять показатели степени:

   $$8 - x^2 = 2x.$$

3. Приведем уравнение к стандартному виду:
   Переносим все элементы на одну сторону:

   $$8 - x^2 - 2x = 0.$$

   Умножим все на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

   $$x^2 + 2x - 8 = 0.$$

4. Решим квадратное уравнение:
   Для решения уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$ применим формулу для решения квадратного уравнения:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$$

   где $a = 1$, $b = 2$, $c = -8$.

   Подставим значения:

   $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2}.$$

   Таким образом, получаем:

   $$x = \frac{-2 \pm 6}{2}.$$

5. Найдем два возможных значения для $x$:

   $$x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2,$$ $$x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4.$$

Ответ: $x = 2$ или $x = -4$.