под корнем (x+1) × под корнем (x+6) = 6

Рассмотрим уравнение:

1. Перепишем уравнение:

   У нас есть произведение двух квадратных корней. Мы можем объединить их под одним квадратным корнем, используя свойство произведения корней:

   $$\sqrt{x+1} \times \sqrt{x+6} = \sqrt{(x+1)(x+6)}$$

   Тогда уравнение примет вид:

   $$\sqrt{(x+1)(x+6)} = 6$$

2. Избавимся от квадратного корня:

   Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

   $$\left(\sqrt{(x+1)(x+6)}\right)^2 = 6^2$$

   Получаем:

   $$(x+1)(x+6) = 36$$

3. Распишем скобки:

   Теперь раскрываем скобки:

   $$x^2 + 6x + x + 6 = 36$$

   Упростим выражение:

   $$x^2 + 7x + 6 = 36$$

4. Переносим все в одну сторону:

   Чтобы решить квадратное уравнение, перенесем 36 в левую часть:

   $$x^2 + 7x + 6 - 36 = 0$$

   Получаем:

   $$x^2 + 7x - 30 = 0$$

5. Решаем квадратное уравнение:

   Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы для решения квадратных уравнений:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   Где $a = 1$, $b = 7$, $c = -30$. Подставляем значения:

   $$x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \times 1 \times (-30)}}{2 \times 1}$$ $$x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 120}}{2}$$ $$x = \frac{-7 \pm \sqrt{169}}{2}$$ $$x = \frac{-7 \pm 13}{2}$$

6. Находим два возможных значения для $x$:

   $$x_1 = \frac{-7 + 13}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-7 - 13}{2} = \frac{-20}{2} = -10$$

7. Проверяем решения:

   Мы должны убедиться, что оба найденных значения удовлетворяют исходному уравнению. Подставим $x = 3$ и $x = -10$ в исходное уравнение:

   • Для $x = 3$:

     $$\sqrt{3+1} \times \sqrt{3+6} = \sqrt{4} \times \sqrt{9} = 2 \times 3 = 6$$