Решите неравенства: 1) (2/3) ^ x > 1 1/2; 2) 9 ^ (2x) <= 1/3; 3) (1/7) ^ (x ^ 2 - 9) <= 1

Задание 1: Решить неравенство $(\frac{2}{3})^x > 1 \frac{1}{2}$

Необходимо решить неравенство:

1. Преобразуем $1 \frac{1}{2}$ в дробь:

2. Запишем неравенство в виде:

3. Так как $\frac{2}{3}$ — это число, меньшее 1, при возведении его в степень с увеличением $x$ значение выражения будет уменьшаться. То есть для положительных $x$ результат будет стремиться к 0, а для отрицательных $x$ выражение будет расти. Это важно для понимания направления решения.

4. Мы будем работать с логарифмами. Чтобы избавиться от степени, применим логарифм по основанию $\frac{2}{3}$. Для этого необходимо принять во внимание, что логарифм числа меньшего единицы меняет знак неравенства.

5. Теперь вычислим логарифм:

Так как $\log\left(\frac{2}{3}\right)$ отрицательно, результат будет отрицательным, что подтверждает, что $x$ должно быть меньше какого-то числа.

Задание 2: Решить неравенство $9^{2x} > 1$

Решим неравенство:

1. Запишем 9 как степень числа 3:

2. Таким образом, неравенство превращается в:

3. Так как основание 3 больше единицы, выражение $3^{4x}$ возрастает при увеличении $x$. Неравенство $3^{4x} > 1$ выполняется при $x > 0$, поскольку при $x = 0$ мы получаем $3^0 = 1$, а при $x < 0$ $3^{4x}$ будет меньше 1.

Ответ для второго неравенства:

Итог

1. Для неравенства $\left(\frac{2}{3}\right)^x > \frac{3}{2}$ решение будет зависеть от логарифмических вычислений, но основной вывод: решение — для $x$, меньше определённого значения, которое можно найти с помощью логарифмов.

2. Для неравенства $9^{2x} > 1$ решение $x > 0$.