X^6 - y^6. Разложите на множители с объяснениями.

Для того чтобы разложить выражение $X^6 - y^6$ на множители, будем использовать известные формулы разложения разности степеней.

1. Распознаем разность квадратов:

   $X^6 - y^6$ можно рассматривать как разность двух шестых степеней. Заметим, что это можно записать как разность квадратов:

   $$X^6 - y^6 = (X^3)^2 - (y^3)^2$$

   Теперь используем формулу разности квадратов:

   $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$

   Применив эту формулу, получаем:

   $$(X^3)^2 - (y^3)^2 = (X^3 - y^3)(X^3 + y^3)$$

2. Разложим каждое из выражений $X^3 - y^3$ и $X^3 + y^3$:

   Оба этих выражения являются кубами, и для их разложения существуют специальные формулы:

   • Разложение разности кубов:

     $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$

   • Разложение суммы кубов:

     $$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$

   Применим эти формулы:

   $$X^3 - y^3 = (X - y)(X^2 + Xy + y^2)$$

   и

   $$X^3 + y^3 = (X + y)(X^2 - Xy + y^2)$$

3. Подставим полученные разложения:

   Подставляем эти разложения в выражение для $X^6 - y^6$:

   $$X^6 - y^6 = (X - y)(X^2 + Xy + y^2)(X + y)(X^2 - Xy + y^2)$$

Таким образом, разложение на множители для $X^6 - y^6$ будет следующим: