Корень из x^2+x-2 <2

Выражение √(x² + x - 2) — это корень квадратный из многочлена второй степени. Чтобы понять свойства этого выражения, разберём его пошагово.

1. Область определения

Так как речь идёт о квадратном корне, подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю, иначе результат будет невещественным (в школьной математике — не определённым). То есть:

x² + x - 2 ≥ 0

Решим это неравенство.

Для начала найдём корни квадратного трёхчлена:

x² + x - 2 = 0

Решаем через дискриминант:

D = 1² - 4·1·(-2) = 1 + 8 = 9
√D = 3

Корни уравнения:

x₁ = (-1 - 3)/2 = -2
x₂ = (-1 + 3)/2 = 1

Значит, парабола x² + x - 2 пересекает ось x в точках x = -2 и x = 1, ветви направлены вверх.

Тогда знак подкоренного выражения будет:

• Положительный при x ≤ -2 и x ≥ 1

• Отрицательный при -2 < x < 1

Значит, выражение √(x² + x - 2) определено только на промежутках:

x ≤ -2 и x ≥ 1

2. Упрощение выражения (если требуется)

Можно разложить подкоренное выражение:

x² + x - 2 = (x + 2)(x - 1)

Тогда:

√(x² + x - 2) = √[(x + 2)(x - 1)]

Это уже более удобная форма для анализа или построения графика, если потребуется.

Однако упростить само выражение дальше алгебраически нельзя, если не учитывать модуль (например, при решении уравнений).

Итог

• Выражение √(x² + x - 2) определено при x ≤ -2 или x ≥ 1

• Подкоренное выражение разлагается на (x + 2)(x - 1)

• Упростить дальше без контекста (например, без уравнения или задачи) нельзя

Это корень из квадратичного выражения, значение которого можно найти при конкретных значениях x из допустимого диапазона.