Решите неравенства (Х-1)^2< √2 (х-1)

Чтобы решить неравенство $(x-1)^2 < \sqrt{2} (x-1)$, разобьем его на несколько шагов:

1. Переносим все в одну сторону:

   Для того чтобы упростить неравенство, вычитаем $\sqrt{2} (x-1)$ с обеих сторон:

   $$(x-1)^2 - \sqrt{2} (x-1) < 0$$

2. Выносим общий множитель:

   Заметим, что в обеих частях неравенства присутствует множитель $(x-1)$. Поэтому вынесем его за скобки:

   $$(x-1) \left( (x-1) - \sqrt{2} \right) < 0$$

3. Упрощаем выражения в скобках:

   Упростим выражение во второй скобке:

   $$(x-1) \left( x - 1 - \sqrt{2} \right) < 0$$

   Это можно записать как:

   $$(x-1) \left( x - (1 + \sqrt{2}) \right) < 0$$

4. Найдем точки, где выражение равно нулю:

   Теперь, чтобы решить неравенство, найдем точки, где каждое из множителей равно нулю:

   • $x-1 = 0$ дает $x = 1$

   • $x - (1 + \sqrt{2}) = 0$ дает $x = 1 + \sqrt{2}$

   Таким образом, у нас есть два ключевых значения: $x = 1$ и $x = 1 + \sqrt{2}$.

5. Анализируем знаки выражения на интервалах:

   Теперь исследуем знаки выражения $(x-1) \left( x - (1 + \sqrt{2}) \right)$ на различных интервалах, которые определяются найденными точками: $x < 1$, $1 < x < 1 + \sqrt{2}$ и $x > 1 + \sqrt{2}$.

   • Когда $x < 1$, оба множителя $(x-1)$ и $(x - (1 + \sqrt{2}))$ отрицательны, их произведение положительно.

   • Когда $1 < x < 1 + \sqrt{2}$, $(x-1)$ положителен, а $(x - (1 + \sqrt{2}))$ отрицателен, их произведение отрицательно.

   • Когда $x > 1 + \sqrt{2}$, оба множителя положительны, их произведение положительно.

   Поскольку неравенство должно быть строго меньше нуля, нам подходят только значения $x$ из интервала $(1, 1 + \sqrt{2})$.

6. Ответ:

   Решением неравенства является интервал:

   $$1 < x < 1 + \sqrt{2}$$