Установить, зависит ли период колебаний пружинного маятника от амплитуды колебаний.

Если говорить простыми словами: в идеальной модели пружинного маятника период колебаний от амплитуды не зависит, но в реальном эксперименте при больших амплитудах небольшая зависимость может появляться из-за неидеальности пружины и сопротивления среды.

Ниже разберу и теорию, и то, как это устанавливается на опыте.

1. Теория: от чего должен зависеть период

Рассматриваем пружинный маятник: груз массы $m$ на пружине жёсткости $k$, колебания вдоль одной оси (например, вертикально или по горизонтали на гладкой поверхности).

Сила пружины по закону Гука:

Для груза по второму закону Ньютона:

где

Общее решение:

где:

• $A$ — амплитуда колебаний,

• $\varphi$ — начальная фаза.

Период $T$ связан с $\omega$ так:

Из этой формулы видно:

• $T$ зависит от массы $m$ и жёсткости пружины $k$,

• не входит амплитуда $A$.

То есть в рамках модели линейного гармонического осциллятора период не зависит от амплитуды вообще.

2. Важное условие: закон Гука и "малые колебания"

Независимость периода от амплитуды справедлива только если:

1. Пружина подчиняется закону Гука во всём диапазоне растяжения: сила строго пропорциональна смещению.

2. Колебания гармонические, то есть уравнение движения действительно линейное:

   $$\ddot{x} + \omega^2 x = 0.$$

В реальности пружина:

• при очень больших растяжениях начинает отклоняться от линейности,

• может иметь трение в витках,

• может частично деформироваться пластически.

Тогда сила уже не вполне $F = -kx$, а что-то вроде:

Из-за таких нелинейных поправок период начинает слабо зависеть от амплитуды: при увеличении амплитуды он может чуть увеличиваться или уменьшаться.

Но в школьных и базовых вузовских опытах амплитуды обычно выбирают небольшие, чтобы оставаться в «почти линейном» режиме. В этом случае зависимость $T(A)$ либо вообще не заметна, либо меньше погрешности измерения.

3. Как это проверить в эксперименте

Типичный лабораторный способ «установить, зависит или нет» выглядит так:

1. Собрать маятник
   Груз на пружине, пружина закреплена к штативу. Параметры $m$ и $k$ можно измерить, но важнее относительные изменения периода.

2. Выбрать несколько амплитуд
   Например:

   • $A_1 = 1$ см

   • $A_2 = 2$ см

   • $A_3 = 3$ см

   • $A_4 = 4$ см
     (чаще берут 3–5 разных амплитуд в разумных пределах, чтобы пружина не уходила далеко от линейного режима.)

3. Для каждой амплитуды измерить период

   • Отклоняют груз на заданную амплитуду $A_i$.

   • Отпускают без начальной скорости.

   • Секундомером измеряют время $t_i$ для, скажем, 20 полных колебаний.

   • Период:

     $$T_i = \frac{t_i}{N},$$

     где $N$ — число колебаний (например, $N = 20$).

   Многократный отсчёт сразу нескольких колебаний снижает относительную погрешность.

4. Сравнить полученные значения $T_i$

   • Строят таблицу: амплитуда $A$ и соответствующий период $T$.

   • Можно построить график $T(A)$.

   Если:

   • Все значения $T_i$ примерно одинаковы, а различия сопоставимы с погрешностью измерений,
     то делают вывод:

     В пределах погрешности эксперимента период не зависит от амплитуды.

   Если же:

   • Наблюдается явная тенденция: при увеличении $A$ период заметно растёт или уменьшается — больше, чем можно объяснить ошибками —
     тогда говорят, что обнаружена слабая зависимость периода от амплитуды, связанная с нелинейностью пружины и другими факторами.

4. Что обычно пишут в выводе

В стандартизованной формулировке (например, для отчёта по лабораторной работе) вывод может выглядеть так:

Теоретически период колебаний пружинного маятника задаётся формулой
$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ и не зависит от амплитуды при выполнении закона Гука и малых колебаниях.
В ходе эксперимента при изменении амплитуды в пределах … (например, 1–4 см) измеренные значения периода оставались одинаковыми в пределах погрешности измерений.
Следовательно, в исследуемом диапазоне амплитуд период колебаний пружинного маятника можно считать не зависящим от амплитуды.

Если же экспериментально видна явная зависимость, можно добавить фразу вроде:

Небольшое увеличение периода при больших амплитудах объясняется отклонениями реальной пружины от закона Гука и наличием нелинейных эффектов.

Итог:
В идеальной теории пружинного маятника период колебаний не зависит от амплитуды. В реальном опыте при малых амплитудах эта независимость подтверждается: измеренные периоды для разных амплитуд совпадают в пределах погрешности. При очень больших амплитудах слабая зависимость может появиться из-за нелинейных свойств пружины и потерь энергии.