Горизонтально направленная сила 100 Н удерживает на наклонной плоскости тело. Какую максимальную массу может иметь тело, если угол наклона плоскости равен 45 градусов, а коэффициент трения 0,5?

Рассмотрим тело на наклонной плоскости с углом $\theta = 45^\circ$. На него действует горизонтальная сила $F=100\ \text{Н}$, которая удерживает тело от соскальзывания. Коэффициент трения $\mu = 0{,}5$.

Будем считать, что плоскость поднимается вправо, и сила $F$ приложена горизонтально вправо (то есть она имеет составляющую вверх по плоскости и одновременно прижимает тело к плоскости). Тогда трение при угрозе соскальзывания вниз действует вверх по плоскости.

1) Разложим горизонтальную силу по направлениям “вдоль плоскости” и “перпендикулярно плоскости”

Угол между направлением плоскости и горизонталью равен $\theta$, значит:

• Составляющая силы вдоль плоскости (вверх по наклонной):

• Составляющая силы перпендикулярно плоскости (внутрь плоскости, прижимает):

2) Нормальная реакция опоры

Нормальная сила $N$ создаётся двумя “прижимающими” компонентами: от веса и от горизонтальной силы:

3) Максимальная сила трения

При предельном равновесии:

4) Условие удержания от соскальзывания вниз

Вниз по плоскости тянет компонента веса:

Удерживают вверх по плоскости: $F\cos\theta$ и трение $f_{\max}$. На грани срыва:

Раскроем скобки и соберём члены с $m$:

5) Подставим числа ($\theta=45^\circ$, $\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$)

Так как $\sin\theta=\cos\theta$, удобно вынести $\frac{\sqrt2}{2}$:

Числитель:

Знаменатель:

Сокращаем $\frac{\sqrt2}{2}$:

Подставим $F=100\ \text{Н}$, $\mu=0{,}5$:

Если взять $g=9{,}8\ \text{м/с}^2$: