Материальная точка движется прямолинейно.Уравнение движения имеет вид: x=At+Bt^2, где А=3 м/с,В=0,06 м/с^3.Найти скорость V и ускорение а точки моменты времени t1=0 и t2=3c.Каковы средние значения скорости<r1> и ускорения <a1> за первые 3с движения?

Давайте подробно разберем задачу.

Условия и формулы

Материальная точка движется по прямой, и её положение $x$ в зависимости от времени $t$ задаётся уравнением:

где:

• $A = 3 \, \text{м/с}$
• $B = 0,06 \, \text{м/с}^3$

Из этого уравнения мы можем найти скорость и ускорение точки в любой момент времени $t$, а также средние значения скорости и ускорения за первые 3 секунды движения.

Шаг 1: Найдём выражения для скорости $V$ и ускорения $a$

1. Скорость $V$ — это первая производная координаты $x$ по времени $t$:

   $$V = \frac{dx}{dt} = A + 2Bt$$

2. Ускорение $a$ — это первая производная скорости по времени, или вторая производная координаты по времени:

   $$a = \frac{dV}{dt} = 2B$$

Таким образом, скорость $V$ и ускорение $a$ зависят от времени следующим образом:

Шаг 2: Найдём скорость $V$ и ускорение $a$ в моменты времени $t_1 = 0$ и $t_2 = 3$ с

1. В момент времени $t_1 = 0$:

   • Скорость $V(0) = A + 2B \cdot 0 = A = 3 \, \text{м/с}$
   • Ускорение $a = 2B = 2 \cdot 0,06 = 0,12 \, \text{м/с}^2$

2. В момент времени $t_2 = 3$ с:

   • Скорость $V(3) = A + 2B \cdot 3 = 3 + 2 \cdot 0,06 \cdot 3 = 3 + 0,36 = 3,36 \, \text{м/с}$
   • Ускорение $a = 0,12 \, \text{м/с}^2$ (ускорение постоянно и не зависит от времени)

Шаг 3: Найдём средние значения скорости $\langle V \rangle$ и ускорения $\langle a \rangle$ за первые 3 секунды

1. Средняя скорость $\langle V \rangle$ за интервал времени от $t = 0$ до $t = 3$ с:

   Средняя скорость — это отношение общего пути к общему времени:

   $$\langle V \rangle = \frac{x(3) - x(0)}{3}$$

   Найдём $x(0)$ и $x(3)$:

   • $x(0) = A \cdot 0 + B \cdot 0^2 = 0$
   • $x(3) = A \cdot 3 + B \cdot 3^2 = 3 \cdot 3 + 0,06 \cdot 9 = 9 + 0,54 = 9,54 \, \text{м}$

   Подставляем значения:

   $$\langle V \rangle = \frac{9,54 - 0}{3} = \frac{9,54}{3} = 3,18 \, \text{м/с}$$

2. Среднее ускорение $\langle a \rangle$ за интервал от $t = 0$ до $t = 3$ с:

   Поскольку ускорение в данной задаче постоянно и равно $0,12 \, \text{м/с}^2$, его среднее значение за любой интервал времени также будет равно $0,12 \, \text{м/с}^2$:

   $$\langle a \rangle = 0,12 \, \text{м/с}^2$$

Ответ

• Скорость в момент $t = 0$: $V(0) = 3 \, \text{м/с}$
• Скорость в момент $t = 3$ с: $V(3) = 3,36 \, \text{м/с}$
• Ускорение в любой момент времени: $a = 0,12 \, \text{м/с}^2$
• Средняя скорость за первые 3 секунды: $\langle V \rangle = 3,18 \, \text{м/с}$
• Среднее ускорение за первые 3 секунды: $\langle a \rangle = 0,12 \, \t$