Вычислить разницу между фазовой и групповой скоростью для света с длиной волны 0,768 мкм в стекле, если известно, что показатель преломления для этой длины волны равен 1,511, а для волны длиной 0,656 мкм он равен 1,514

Чтобы рассчитать разницу между фазовой и групповой скоростью для света с длиной волны $\lambda = 0{,}768 \, \mu\text{м}$ в стекле, мы воспользуемся некоторыми физическими формулами и соотношениями.

Основные понятия и формулы

1. Фазовая скорость $v_{\text{ф}}$ определяется как скорость распространения волнового фронта и вычисляется по формуле:

   $$v_{\text{ф}} = \frac{c}{n}$$

   где $c$ — скорость света в вакууме ($c \approx 3 \times 10^8 \, \text{м/с}$), а $n$ — показатель преломления материала.

2. Групповая скорость $v_{\text{гр}}$ связана со скоростью распространения групп волновых пакетов и определяется как:

   $$v_{\text{гр}} = \frac{c}{n_g}$$

   где $n_g$ — так называемый "групповой показатель преломления", который связан с изменением показателя преломления с длиной волны:

   $$n_g = n - \lambda \frac{dn}{d\lambda}$$

Для расчета $n_g$ нам нужно знать, как показатель преломления $n$ зависит от длины волны $\lambda$.

Шаги для вычисления разницы скоростей

1. Определение фазовой скорости для длины волны 0,768 мкм:

   $$v_{\text{ф}} = \frac{c}{n} = \frac{3 \times 10^8 \, \text{м/с}}{1{,}511} \approx 1{,}985 \times 10^8 \, \text{м/с}$$

2. Рассчитаем производную $\frac{dn}{d\lambda}$ для показателя преломления:

   • Для $\lambda_1 = 0{,}768 \, \mu\text{м}$, $n_1 = 1{,}511$
   • Для $\lambda_2 = 0{,}656 \, \mu\text{м}$, $n_2 = 1{,}514$

   Производная $\frac{dn}{d\lambda}$ может быть приближена разностью:

   $$\frac{dn}{d\lambda} \approx \frac{n_2 - n_1}{\lambda_2 - \lambda_1} = \frac{1{,}514 - 1{,}511}{0{,}656 - 0{,}768} \approx \frac{0{,}003}{-0{,}112} \approx -0{,}0268 \, \mu\text{м}^{-1}$$

3. Вычисление группового показателя преломления $n_g$:

   $$n_g = n - \lambda \frac{dn}{d\lambda} = 1{,}511 - 0{,}768 \times (-0{,}0268)$$

   Подставив значения, получаем:

   $$n_g \approx 1{,}511 + 0{,}0206 = 1{,}5316$$

4. Определение групповой скорости:

   $$v_{\text{гр}} = \frac{c}{n_g} = \frac{3 \times 10^8 \, \text{м/с}}{1{,}5316} \approx 1{,}959 \times 10^8 \, \text{м/с}$$

5. Расчет разницы между фазовой и групповой скоростью:

   $$\Delta v = v_{\text{ф}} - v_{\text{гр}} = 1{,}985 \times 10^8 - 1{,}959 \times 10^8 = 0{,}026 \times 10^8 \, \text{м/с} = 2{,}6 \times 10^6 \, \text{м/с}$$