Во сколько раз скорость лыжника в конце спуска с горы больше,чем на её середине?

Ответы на вопрос

Отвечает Стэтхэм Джейсон.

Чтобы ответить на этот вопрос, можно использовать принципы кинематики и закон сохранения энергии, если предположить, что на лыжника действует только сила тяжести (без учета трения и сопротивления воздуха). Рассмотрим основные моменты.

Предположения:

Спуск происходит по наклонной плоскости (горы) с начальной высотой $h$ .
Лыжник стартует с вершины горы, имея нулевую начальную скорость.
Трение и сопротивление воздуха отсутствуют, и действующей силой является только гравитация.

Используем закон сохранения энергии

В начале движения лыжника на вершине горы его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия максимальна и равна $mgh$ , где:

$m$ — масса лыжника,
$g$ — ускорение свободного падения (приблизительно 9,8 м/с²),
$h$ — высота горы.

Во время спуска потенциальная энергия лыжника уменьшается, а его кинетическая энергия увеличивается. В середине и в конце спуска полная механическая энергия остается постоянной, что означает, что потенциальная энергия, которая теряется при снижении высоты, преобразуется в кинетическую энергию.

Скорость в середине горы

Когда лыжник находится на середине горы, высота над уровнем земли равна $h/2$ . В этом случае потенциальная энергия уменьшилась на половину, а значит, остальная часть энергии стала кинетической. Для середины спуска:

Потенциальная энергия равна $mg \cdot \frac{h}{2} = \frac{mgh}{2}$ .
Кинетическая энергия, по закону сохранения энергии, равна оставшейся части от начальной потенциальной энергии, то есть: $\text{Кинетическая энергия} = mgh - \frac{mgh}{2} = \frac{mgh}{2}$

Кинетическая энергия $\frac{mv^2}{2}$ в середине высоты будет равна $\frac{mgh}{2}$ . Упрощаем это уравнение и выражаем скорость $v$ :

\frac{mv^2}{2} = \frac{mgh}{2}

v_{\text{середина}} = \sqrt{gh}

Скорость в конце спуска

В конце спуска потенциальная энергия лыжника равна нулю, так как он находится на уровне основания горы. Вся потенциальная энергия, которую он имел на вершине, превратилась в кинетическую энергию:

\text{Кинетическая энергия} = mgh

\frac{mv^2}{2} = mgh

v_{\text{конец}} = \sqrt{2gh}

Отношение скоростей

Теперь найдем, во сколько раз скорость лыжника в конце спуска больше, чем на середине. Для этого составим отношение $\frac{v_{\text{конец}}}{v_{\text{середина}}}$ :

\frac{v_{\text{конец}}}{v_{\text{середина}}} = \frac{\sqrt{2gh}}{\sqrt{gh}} = \sqrt{2} \approx 1,41

Ответ

Скорость лыжника в конце спуска с горы примерно в 1,41 раза больше, чем на её середине.