В сообщающихся сосудах находится ртуть. Диаметр одного сосуда в два раза больше другого. В узкий сосуд наливают столб воды высотой 0,7 метров. На сколько поднимется уровень ртути в одном сосуде и опустится в другом? Ответы должны получиться 1 и 4 сантиметра.

Давайте разберём эту задачу шаг за шагом, как я бы написал на сайте вопросов и ответов.

Дано:

• Два сообщающихся сосуда с ртутью.

• Диаметр одного сосуда в 2 раза больше другого. Следовательно, площадь сечения одного сосуда в 4 раза больше другого, потому что площадь круга $S = \pi r^2$.

• В узкий сосуд наливают столб воды $h_\text{воды} = 0,7 \, м$.

• Плотность ртути $\rho_\text{ртуть} \approx 13600 \, кг/м^3$, плотность воды $\rho_\text{воды} = 1000 \, кг/м^3$.

Найти: На сколько поднимется/опустится уровень ртути в каждом сосуде.

Решение:

1. Давление воды на ртуть в узком сосуде:

Давление на ртуть от столба воды:

2. Связь подъёма ртути в сообщающихся сосудах:

Пусть уровень ртути в узком сосуде опустится на $h_1$, а в широком сосуде поднимется на $h_2$.

• Давление на одном и том же горизонтальном уровне ртути должно быть одинаковым (закон сообщающихся сосудов):

Или:

3. Связь объёмов ртути:

Объём ртути перемещается из узкого сосуда в широкий:

Площадь широкого сосуда $S_\text{широкий} = 4 S_\text{узкий}$, поэтому:

4. Подставим $h_1 = 4 h_2$ в уравнение давления:

Если округлить до «удобных чисел» для учебных задач, обычно берут $h_2 \approx 1 \, см$, тогда $h_1 = 4 h_2 \approx 4 \, см$.

Ответ:

• Ртуть поднимется в широком сосуде на 1 см.

• Ртуть опустится в узком сосуде на 4 см.

Идея: Объём ртути сохраняется, а давление уравнивается. Разница площадей сосудов создаёт отношение 1:4 для изменения уровней.