Шар массой 5 кг, движущийся с некоторой скоростью, соударяется с неподвижным шаром, после чего шары движутся вместе. Определите массу второго шара, если при ударе потеряно 50% кинетической энергии.

Рассмотрим задачу подробно и поэтапно.

Дано

1. Масса первого шара $m_1 = 5 \, \text{кг}$.
2. До столкновения второй шар был неподвижен, то есть его начальная скорость $v_2 = 0$.
3. После удара оба шара движутся вместе, что говорит о неупругом столкновении.
4. Потеря кинетической энергии после столкновения составляет 50%.

Требуется

Определить массу второго шара $m_2$.

Решение

1. Обозначим начальные условия: Пусть скорость первого шара до удара равна $v_1$.

2. Закон сохранения импульса: При неупругом столкновении импульс системы сохраняется. До удара импульс системы был равен:

   $$p_{\text{нач}} = m_1 v_1 + m_2 \cdot 0 = m_1 v_1$$

   После удара оба шара движутся вместе с некоторой скоростью $v$. Тогда импульс системы после удара:

   $$p_{\text{кон}} = (m_1 + m_2) v$$

   Так как импульс сохраняется, то:

   $$m_1 v_1 = (m_1 + m_2) v$$

   Из этого выражения можно выразить $v$:

   $$v = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2}$$

3. Начальная кинетическая энергия: Начальная кинетическая энергия системы $E_{\text{нач}}$ содержится только в движущемся первом шаре:

   $$E_{\text{нач}} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2$$

4. Конечная кинетическая энергия: Конечная кинетическая энергия $E_{\text{кон}}$ системы после столкновения равна:

   $$E_{\text{кон}} = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2$$

   Подставим найденное значение $v$:

   $$E_{\text{кон}} = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \left( \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2} \right)^2$$

   Упростим это выражение:

   $$E_{\text{кон}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{m_1^2 v_1^2}{m_1 + m_2}$$

5. Потеря кинетической энергии: По условию, потеряно 50% начальной кинетической энергии. Это значит, что конечная кинетическая энергия составляет 50% от начальной:

   $$E_{\text{кон}} = 0{,}5 \cdot E_{\text{нач}}$$

   Подставим выражения для $E_{\text{кон}}$ и $E_{\text{нач}}$:

   $$\frac{1}{2} \cdot \frac{m_1^2 v_1^2}{m_1 + m_2} = 0{,}5 \cdot \frac{1}{2} m_1 v_1^2$$

   Упростим уравнение:

   $$\frac{m_1^2 v_1^2}{m_1 + m_2} = 0{,}5 \cdot m_1 v_1^2$$