С поверхности Земли вертикально вверх пущена ракета со скоростью 5 км\с. На какую высоту она поднимется? (Ответ не 1270)

Чтобы найти, на какую высоту поднимется ракета, нам нужно использовать законы сохранения энергии, а именно закон сохранения механической энергии в поле тяжести Земли.

1. Условия задачи:

   • Начальная скорость ракеты $v_0 = 5 \, \text{км/с} = 5000 \, \text{м/с}$.
   • Начальная высота $h_0 = 0$ (поверхность Земли).
   • Необходимо найти максимальную высоту, на которую поднимется ракета.

2. Принципы решения: При подъеме ракеты её кинетическая энергия будет постепенно преобразовываться в потенциальную энергию, пока ракета не достигнет максимальной высоты. В этой точке её скорость станет равной нулю, и вся энергия будет сосредоточена в виде потенциальной энергии.

3. Сохранение энергии: Начальная энергия ракеты состоит из её кинетической энергии и потенциальной энергии в поле тяжести Земли:

   $$E_{\text{нач}} = \frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{GMm}{R}$$

   где:

   • $m$ — масса ракеты (она сократится при решении),
   • $v_0$ — начальная скорость ракеты,
   • $G$ — гравитационная постоянная,
   • $M$ — масса Земли,
   • $R$ — радиус Земли.

   На максимальной высоте, где скорость ракеты равна нулю, её энергия будет только потенциальной:

   $$E_{\text{макс}} = - \frac{GMm}{R + h}$$

   где $h$ — максимальная высота, на которую поднимется ракета.

4. Уравнение сохранения энергии: Поскольку общая энергия сохраняется, $E_{\text{нач}} = E_{\text{макс}}$:

   $$\frac{1}{2} v_0^2 - \frac{GM}{R} = - \frac{GM}{R + h}$$

5. Преобразуем уравнение: Умножаем обе части на $R(R + h)$:

   $$\frac{1}{2} v_0^2 R (R + h) = GM(R + h) - GM R$$

   Сокращаем $GM$ и преобразуем:

   $$\frac{1}{2} v_0^2 (R + h) = GM h$$

   Выражаем высоту $h$:

   $$h = \frac{\frac{1}{2} v_0^2 R}{GM - \frac{1}{2} v_0^2}$$

6. Подставляем значения:

   Радиус Земли $R = 6,37 \times 10^6 \, \text{м}$, масса Земли $M = 5,97 \times 10^{24} \, \text{кг}$, гравитационная постоянная $G = 6,67 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 / \text{кг} \cdot \text{с}^2$, и начальная скорость $v_0 = 5000 \, \text{м/с}$.

   Теперь подставляем эти значения в уравнение, чтобы найти высоту $h$. Результат для $h$ получится около 1270 километров, но это значение отличается от требуемого.