Два од­но­род­ных ку­би­ка при­ве­ли в теп­ло­вой кон­такт друг с дру­гом (см. рисунок). Пер­вый кубик из­го­тов­лен из цинка, длина его ребра 2 см, а на­чаль­ная тем­пе­ра­ту­ра t1 = 1 °C. Вто­рой кубик из­го­тов­лен из меди, длина его ребра 3 см, а на­чаль­ная тем­пе­ра­ту­ра t2 = 74,2 °C. Пре­не­бре­гая теп­ло­об­ме­ном ку­би­ков с окру­жа­ю­щей средой, най­ди­те тем­пе­ра­ту­ру ку­би­ков после уста­нов­ле­ния теп­ло­во­го равновесия.

Чтобы решить задачу и найти температуру кубиков после установления теплового равновесия, воспользуемся законом сохранения энергии и формулой для количества теплоты.

Дано:

1. Первый кубик (цинк):

   • Длина ребра $a_1 = 2 \, \text{см} = 0{,}02 \, \text{м}$,
   • Начальная температура $t_1 = 1^\circ \text{C}$,
   • Плотность цинка $\rho_1 = 7100 \, \text{кг/м}^3$,
   • Удельная теплоёмкость цинка $c_1 = 390 \, \text{Дж/(кг·°C)}$.

2. Второй кубик (медь):

   • Длина ребра $a_2 = 3 \, \text{см} = 0{,}03 \, \text{м}$,
   • Начальная температура $t_2 = 74{,}2^\circ \text{C}$,
   • Плотность меди $\rho_2 = 8900 \, \text{кг/м}^3$,
   • Удельная теплоёмкость меди $c_2 = 385 \, \text{Дж/(кг·°C)}$.

Необходимые формулы:

1. Объём куба: $$V = a^3$$
2. Масса куба: $$m = \rho \cdot V$$
3. Количество теплоты: $$Q = m \cdot c \cdot \Delta t$$
4. Условие теплового равновесия:
   Суммарная теплота не меняется, то есть: $$Q_{\text{отд}} + Q_{\text{прин}} = 0$$ или: $$m_1 c_1 (t - t_1) + m_2 c_2 (t - t_2) = 0,$$ где $t$ — температура теплового равновесия.

Шаги решения:

1. Рассчитаем массы кубиков.

1. Масса первого кубика (цинк):

   $$V_1 = a_1^3 = (0{,}02)^3 = 0{,}000008 \, \text{м}^3,$$ $$m_1 = \rho_1 \cdot V_1 = 7100 \cdot 0{,}000008 = 0{,}0568 \, \text{кг}.$$

2. Масса второго кубика (медь):

   $$V_2 = a_2^3 = (0{,}03)^3 = 0{,}000027 \, \text{м}^3,$$ $$m_2 = \rho_2 \cdot V_2 = 8900 \cdot 0{,}000027 = 0{,}2403 \, \text{кг}.$$

2. Подставим значения в уравнение теплового баланса.

Подставляем известные величины:

3. Раскроем скобки.

1. Для первого кубика:

   $$0{,}0568 \cdot 390 \cdot t - 0{,}0568 \cdot 390 \cdot 1 = 22{,}152 \cdot t - 22{,}152.$$

2. Для второго кубика:

   $$0{,}2403 \cdot 385 \cdot t - 0{,}2403 \cdot 385 \cdot 74{,}2 = 92{,}9555 \cdot t - 6896{,}781.$$

Итоговое уравнение:

4. Объединим подобные слагаемые.