Дано уравнение движения тела х = 50-2t+4t^2 . Запишите уравнение
зависимости скорости от времени и опишите характер движения.

Дано уравнение движения тела:

Для нахождения зависимости скорости от времени найдем первую производную координаты $x$ по времени $t$, так как скорость $v(t)$ — это производная пути $x(t)$ по времени:

Дифференцируем $x = 50 - 2t + 4t^2$:

Таким образом, уравнение зависимости скорости от времени:

Теперь разберемся с характером движения:

1. Начальная скорость: Подставим $t = 0$ в уравнение скорости:

   $$v(0) = -2.$$

   Это означает, что тело начинает движение с начальной скоростью $v = -2$ м/с (направление противоположно положительному направлению оси $x$).

2. Зависимость скорости от времени: Уравнение $v(t) = -2 + 8t$ линейное, то есть скорость увеличивается с течением времени. При $t > 0$ скорость постепенно становится положительной, что указывает на смену направления движения.

3. Определение момента остановки: Найдем момент времени, когда скорость $v(t) = 0$:

   $$-2 + 8t = 0 \implies t = 0.25 \, \text{с}.$$

   В момент $t = 0.25$ с тело останавливается, а затем начинает движение в положительном направлении оси $x$.

4. Характер ускорения: Ускорение $a$ является постоянным, так как оно определяется второй производной $x(t)$ по времени:

   $$a = \frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d(-2 + 8t)}{dt} = 8 \, \text{м/с}^2.$$

   Постоянное положительное ускорение указывает на равнопеременное движение с увеличением скорости.

Итог:

Тело движется с начальной скоростью $-2$ м/с, постепенно замедляется, останавливается в момент времени $t = 0.25$ с, а затем разгоняется в положительном направлении оси $x$ с постоянным ускорением $a = 8 \, \text{м/с}^2$.