На соревнованиях по лёгкой атлетике спортсмен прыгнул в высоту на h = 2 м. Минимальная скорость спортсмена в этом прыжке была равна по модулю  = 1,2 м/с. Пренебрегая силой трения о воздух, определите длину прыжка L. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с2. (Заметим, что это – нетипичный спортсмен, он прыгает сразу и вверх, и в длину!!! Кроме того, его центр масс не достигает высоты h – на это и направлены все современные способы прыжков!) 2. Когда рыбак массой М = 80 кг садится в резиновую лодку, она погружается в воду на половину своего объёма. Сможет ли он перевезти в этой лодке на другой берег реки свою жену и сына, если их массы равны, соответственно, m1 = 60 кг и m2 = 30 кг? Объём лодки равен V = 200 л. Плотность воды  = 1000 кг/м3. 3. Стоя у бортика катка, мальчик бросил горизонтально мяч массой m = 0,6 кг, сообщив ему скорость  = 10 м/с. Какую скорость приобретёт мальчик, если он бросит этот камень, стоя на гладком льду и совершив при этом такую же работу? Масса мальчика М = 30 кг. 4. Ученик налил m1 = 3 л воды, имеющей температуру t1 = 80 С, в кастрюлю. После установления теплового равновесия с кастрюлей вода охладилась до температуры t2 = 60 С. Если в другую такую же кастрюлю налить некоторое количество воды при температуре t3 = 100 С, то она остынет до t4 = 40 С. Считая, что пустые кастрюли имеют температуру t0 = 20 С и что потери теплоты во время установления равновесия несущественны, определите массу воды m2, налитой во вторую кастрюлю. Плотность воды равна  = 1000 кг/м3. 5. Имеются 3 резистора, сопротивления которых равны R1 = R2 = 20 Ом, R 3 = 30 Ом. Из всех этих резисторов изготовлен нагревательный элемент, который при подключении к источнику напряжением U = 200 В развивает мощность P = 1 кВт. Определите, каким образом соединены резисторы в нагревателе, и нарисуйте это соединение.

1. Определение длины прыжка в высоту

Для того чтобы найти длину прыжка $L$, необходимо учесть, что движение спортсмена при прыжке можно описать как комбинацию вертикальной и горизонтальной составляющих.

• Скорость спортсмена по вертикали при прыжке равна $\nu_y = 1,2 \, \text{м/с}$.
• Высота прыжка $h = 2 \, \text{м}$.

Сначала найдем время подъема до максимальной высоты. Для этого используем уравнение движения для вертикальной составляющей с учетом ускорения свободного падения $g = 10 \, \text{м/с}^2$:

На максимальной высоте вертикальная скорость равна нулю, то есть $v_y = 0$. Следовательно:

Это время, которое спортсмен поднимался на максимальную высоту. Поскольку движение симметрично, это же время потребуется ему для спуска. То есть общее время подъема и спуска будет $2 \times 0,12 = 0,24 \, \text{с}$.

Теперь определим горизонтальную скорость прыжка $\nu_x$. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии:

Полная энергия на старте состоит из кинетической энергии $E = \frac{1}{2} m \nu^2$ (где $m$ — масса спортсмена, а $\nu = 1,2 \, \text{м/с}$ — скорость).

Для вертикального движения на максимальной высоте кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию $E_p = mgh$, где $h = 2 \, \text{м}$ — высота прыжка.

Для горизонтального движения сохраняется только кинетическая энергия, и она не изменяется, поэтому:

Теперь, используя факты из задачи, можно рассчитать длину прыжка $L$.

2. Может ли рыбак перевезти жену и сына в лодке

Масса рыбака — $M = 80 \, \text{кг}$, масса жены — $m_1 = 60 \, \text{кг}$, масса сына — $m_2 = 30 \, \text{кг}$. Объем лодки — $V = 200 \, \text{л} = 0,2 \, \text{м}^3$, плотность воды — $\rho = 1000 \, \text{кг/м}^3$.

Когда рыбак садится в лодку, она погружается на половину объема. Это означает, что вес рыбака и лодки равен весу выталкивающей силы воды, то есть:

Для того чтобы лодка не утонула, добавляем массы жены и сына и проверяем, погружается ли лодка более чем на половину объема.

3. Влияние броска мяча на скорость мальчика на льду

Мальчик бросает мяч с горизонтальной скоростью $\nu = 10 \, \text{м/с}$, его масса — $m = 0,6 \, \text{кг}$, а масса мальчика — $M = 30 \, \text{кг}$.

Используем закон сохранения импульса, так как лед предполагается гладким:

Отсюда найдем скорость мальчика $\Delta v = \frac{m \cdot \nu}{M}$.

4. Масса воды в кастрюле

Известно, что вода в кастрюле охлаждается от $t_1 = 80^\circ \text{С}$ до $t_2 = 60^\circ \text{С}$, а затем в другой кастрюле температура воды снижается с $t_3 = 100^\circ \text{С}$ до $t_4 = 40^\circ \text{С}$. Плотность воды $\rho = 1000 \, \text{кг/м}^3$.

Для первого случая теплоотдача от воды в кастрюле равна:

Во втором случае:

Поскольку теплообмен в обоих случаях одинаков, можно приравнять $Q_1$