Тело движется по закону x = 4 - 2t + 0,5t в квадрате. Опишите характер движения. Напишите уравнение зависимости проекции скорости и проекции ускорения от времени. Определите пройденный путь и проекцию перемещения за время до остановки.

Рассмотрим движение тела, которое описывается уравнением $x(t) = 4 - 2t + 0.5t^2$. Здесь $x$ — координата тела в метрах, $t$ — время в секундах.

Шаг 1. Характер движения

Функция $x(t)$ задает зависимость координаты от времени, и из неё мы можем определить:

• Начальная координата: при $t = 0$, $x(0) = 4$, то есть тело находится в точке $x = 4$.
• Тип зависимости: уравнение имеет квадратичную форму $x(t) = at^2 + bt + c$, что указывает на равноускоренное движение.

Так как коэффициент при $t^2$ положительный ($0.5 > 0$), это значит, что ускорение направлено вдоль оси $x$, а скорость со временем увеличивается.

Шаг 2. Уравнения для скорости и ускорения

1. Проекция скорости: Скорость $v(t)$ — это первая производная координаты $x(t)$ по времени:

Вычислим производную:

Итак, проекция скорости:

2. Проекция ускорения: Ускорение $a(t)$ — это первая производная скорости $v(t)$ или вторая производная координаты $x(t)$ по времени:

Вычислим:

Ускорение постоянно и равно $1 \, \text{м/с}^2$.

Шаг 3. Время до остановки

Тело останавливается, когда его скорость становится равной нулю ($v(t) = 0$):

Отсюда:

Шаг 4. Пройденный путь и перемещение

1. Пройденный путь: Пройденный путь учитывает модуль скорости. Сначала найдём, в какие моменты времени тело меняет направление движения (если это происходит):

При $t = 0$, скорость отрицательна, значит, тело движется в отрицательном направлении. Скорость становится нулевой при $t = 2$, после чего движение идёт в положительном направлении. Таким образом, тело сначала движется назад, останавливается в точке поворота, а затем движется вперёд.

• Найдём координаты:
  • При $t = 0$: $x(0) = 4$.
  • При $t = 2$: $x(2) = 4 - 2(2) + 0.5(2^2) = 4 - 4 + 2 = 2$.

На интервале $t = 0$ до $t = 2$, тело проходит путь:

2. Перемещение: Перемещение — это разность координат начального и конечного положения:

Ответы:

1. Характер движения: Тело движется равноускоренно, с постоянным ускорением $a = 1 \, \text{м/с}^2$. Начальная скорость отрицательна ($-2 \, \text{м/с}$), что говорит о движении назад, затем скорость становится положительной, и тело движется вперёд.
2. Уравнение скорости: $v(t) = -2 + t$.
3. Уравнение ускорения: $a(t) = 1 \, \text{м/с}^2$.
4. Пройденный путь за $t = 2 \, \text{с}$: $2 \, \text{м}$.
5. Проекция перемещения за $t = 2 \, \text{с}$: $-2 \, \text{м}$.