Мяч падает без начальной скорости с высотой 15 м на горизонтальную поверхность.при каждом отскоке его скорость уменьшается в 2 раза. Сопротивление отсутствует. Найти путь,пройденный мячом до остановки. Спасибо:)

Задача заключается в том, чтобы найти путь, пройденный мячом до остановки, учитывая, что он падает с высоты 15 м, а при каждом отскоке его скорость уменьшается в 2 раза.

Шаг 1: Рассчитаем высоту первого падения

Мяч падает с высоты $h_1 = 15 \, \text{м}$. Чтобы найти скорость при ударе о землю, воспользуемся законом сохранения энергии.

При падении с высоты $h$ полная энергия мяча на высоте будет равна его потенциальной энергии:

где $m$ — масса мяча, $g$ — ускорение свободного падения (приблизительно $9.8 \, \text{м/с}^2$), $h$ — высота.

В момент удара о землю потенциальная энергия превращается в кинетическую:

где $v$ — скорость мяча при ударе.

Так как энергия сохраняется, то:

Масса $m$ сокращается, и остаётся:

или

Подставим $g = 9.8 \, \text{м/с}^2$ и $h = 15 \, \text{м}$:

Это скорость мяча при первом ударе о землю.

Шаг 2: Скорость при отскоках

После первого отскока скорость мяча уменьшается в 2 раза. Таким образом, скорость при каждом следующем отскоке будет составлять половину скорости предыдущего отскока. Математически:

• Первая скорость: $v_1 = 17.15 \, \text{м/с}$,
• Вторая скорость: $v_2 = \frac{v_1}{2} = \frac{17.15}{2} = 8.575 \, \text{м/с}$,
• Третья скорость: $v_3 = \frac{v_2}{2} = \frac{8.575}{2} = 4.2875 \, \text{м/с}$,
• И так далее.

Шаг 3: Рассчитаем высоту каждого отскока

Для каждого отскока высота будет пропорциональна квадрату скорости, так как потенциальная энергия (и, следовательно, высота) связана с квадратом скорости. Поскольку скорость уменьшается в 2 раза, то высота, на которую поднимется мяч после каждого отскока, также будет уменьшаться в 2 раза.

• Первая высота: $h_1 = 15 \, \text{м}$,
• Вторая высота: $h_2 = \frac{h_1}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \, \text{м}$,
• Третья высота: $h_3 = \frac{h_2}{2} = \frac{7.5}{2} = 3.75 \, \text{м}$,
• И так далее.

Шаг 4: Сумма пути

Теперь нужно посчитать общий путь, который проходит мяч, включая все падения и отскоки. Путь можно разделить на два типа: падение вниз и подскоки вверх.

1. Путь при падениях: Мяч падает сначала с высоты 15 м, потом с 7.5 м, затем с 3.75 м и так далее. То есть путь вниз — это сумма геометрической прогрессии:

Сумма этой бесконечной геометрической прогрессии с первым членом $a = 15$ и знаменателем $r = \frac{1}{2}$ вычисляется по формуле:

2. Путь при подскоках: Мяч подскакивает вверх, но его высота на каждом следующем подскоке также уменьшается в 2 раза. Путь вверх — это та же геометрическая прогрессия, но с теми же членами (начиная с 7.5 м), только без первого члена (первое падение не считается). Путь вверх: