Человек качается на верёвочных качелях длиной 5 метров. он хотел бы раскачаться так, чтобы совершить один полный оборот. какая минимальная скорость необходима в нижней точке для осуществления такого зжамысла?(человека считать материальной точкой).

Чтобы рассчитать минимальную скорость, необходимую для того, чтобы человек смог совершить один полный оборот на веревочных качелях, давайте рассмотрим задачу с точки зрения механики.

1. Основные параметры:

   • Длина верёвки $L = 5$ м.
   • Человек должен совершить полный оборот на качелях, что означает, что его траектория должна быть окружностью радиусом $L$.

2. Условия для полного оборота: Чтобы человек мог выполнить полный оборот, в верхней точке траектории (когда он будет находиться на высоте $2L$ от точки крепления верёвки) сила натяжения верёвки должна быть ненулевой. Это условие важно, потому что если в верхней точке сила натяжения верёвки будет равна нулю, человек просто выпадет с качелей.

   В верхней точке верёвки сила тяжести $mg$ (где $m$ — масса человека, а $g$ — ускорение свободного падения) должна уравновешивать центростремительное ускорение, которое возникает из-за кругового движения. В этом случае скорость на верхней точке должна быть таковой, чтобы центростремительная сила была равна силе тяжести.

3. Анализ в верхней точке: В верхней точке траектории центростремительная сила $\frac{mv^2}{L}$ должна быть равна весу человека $mg$. Это условие даёт нам уравнение:

   $$\frac{mv^2}{L} = mg$$

   Где:

   • $v$ — скорость человека в верхней точке траектории,
   • $L$ — длина верёвки,
   • $g$ — ускорение свободного падения.

   Упростив это уравнение, получаем:

   $$v^2 = gL$$

   Отсюда:

   $$v = \sqrt{gL}$$

   Подставим значение ускорения свободного падения $g = 9.8 \, \text{м/с}^2$ и длины верёвки $L = 5 \, \text{м}$:

   $$v = \sqrt{9.8 \times 5} = \sqrt{49} \approx 7 \, \text{м/с}$$

4. Минимальная скорость в нижней точке: Теперь, зная минимальную скорость $v = 7 \, \text{м/с}$ в верхней точке, можно рассчитать минимальную скорость в нижней точке. В нижней точке скорость будет максимальной, так как вся потенциальная энергия, которую имеет человек на высоте, превращается в кинетическую энергию в нижней точке.

   Для этого используем закон сохранения энергии. Потенциальная энергия в верхней точке (когда человек находится на высоте $2L$) равна $mgh$, где $h = 2L$ — это высота, на которую человек поднимется. Кинетическая энергия в верхней точке равна $\frac{1}{2} m v^2$.

   Полная энергия в верхней точке:

   $$E_{\text{верх}} = mgh + \frac{1}{2} m v^2 = mg \cdot 2L + \frac{1}{2} m \cdot (gL) = \frac{3}{2} mgL$$

   В нижней точке вся эта энергия преобразуется в кинетическую:

   $$E_{\text{низ}} = \frac{1}{2} m v_{\text{низ}}^2$$

   Из закона сохранения энергии:

   $$\frac{3}{2} mgL = \frac{1}{2} m v_{\text{низ}}^2$$

   Упростив, получаем:

   $$v_{\text{низ}}^2 = 3gL$$

   Отсюда:

   $$v_{\text{низ}} = \sqrt{3gL} = \sqrt{3 \times 9.8 \times 5} = \sqrt{147} \approx 12.1 \, \text{м/с}$$

Итак, минимальная скорость, необходимая для того, чтобы человек мог совершить один полный оборот на качелях, составляет примерно 12.1 м/с в нижней точке.