Запишите уравнение гармонических колебаний, если амплитуда ускорения аmax = 50 см/с2
, частота колебаний 0,5 Гц, смещение точки от
положения равновесия в начальный момент времени x0 = 25 мм. Найдите
амплитуду скорости Vmax.

Для того чтобы записать уравнение гармонических колебаний и найти амплитуду скорости, давайте поэтапно разберем задачу.

1. Уравнение гармонических колебаний для смещения:

Гармоническое колебание описывается уравнением вида:

где:

• $A$ — амплитуда колебаний (в нашем случае — амплитуда смещения),
• $\omega$ — угловая частота,
• $t$ — время,
• $\varphi$ — фаза колебаний.

Амплитуду смещения $A$ нам нужно будет найти из условий задачи. Однако для этого нужно сначала определить угловую частоту.

2. Нахождение угловой частоты:

Частота колебаний $f$ связана с угловой частотой $\omega$ через соотношение:

Из условия задачи нам дана частота $f = 0,5$ Гц. Подставим это значение в формулу:

3. Амплитуда ускорения $a_{\text{max}}$:

Амплитуда ускорения связана с амплитудой смещения через выражение для максимального ускорения $a_{\text{max}}$:

Из условия задачи нам известно, что максимальное ускорение $a_{\text{max}} = 50 \, \text{см/с}^2 = 0,5 \, \text{м/с}^2$. Подставим значения $\omega = \pi$ и $a_{\text{max}} = 0,5$:

Решим это уравнение для $A$:

Таким образом, амплитуда колебаний $A$ составляет около 5,05 см.

4. Нахождение амплитуды скорости $V_{\text{max}}$:

Амплитуда скорости связана с амплитудой смещения через формулу для максимальной скорости:

Подставляем значения $\omega = \pi$ и $A = 5,05$ см:

Таким образом, амплитуда скорости $V_{\text{max}}$ составляет примерно 15,86 см/с.

Ответ:

• Уравнение для смещения: $x(t) = 5,05 \cdot \cos(\pi t + \varphi)$ см.
• Амплитуда скорости: $V_{\text{max}} \approx 15,86 \, \text{см/с}$.