Двухатомный газ, находящийся при температуре 22°С, адиабатно сжимают так, что его давление возрастает в 2 раза, а затем охлаждают при постоянном объеме до начального давления. Вычислить конечную температуру.

Для решения задачи, нужно применить законы термодинамики, в частности, уравнение состояния газа, а также уравнения для адиабатного процесса и процесса при постоянном объеме.

Шаг 1: Используем адиабатный процесс

Дано, что газ сжимают адиабатно, то есть без теплообмена с окружающей средой. В адиабатном процессе для идеального газа выполняется уравнение:

где:

• $P_1$, $V_1$ — начальное давление и объем газа,
• $P_2$, $V_2$ — конечное давление и объем газа,
• $\gamma$ — показатель адиабаты, для двухатомного газа (например, для диоксида углерода или кислорода) $\gamma \approx 1.4$.

Так как газ сжимается адиабатно и давление увеличивается в 2 раза ($P_2 = 2P_1$), можно выразить отношение давлений:

Сокращаем $P_1$ с обеих сторон:

Преобразуем это уравнение:

Теперь, извлекая корень из обеих частей, получаем:

Для $\gamma = 1.4$:

Значит, объем $V_2$ меньше объема $V_1$ примерно в 1.515 раза.

Шаг 2: Используем закон Бойля-Мариотта для охлаждения при постоянном объеме

После адиабатного сжатия газ охлаждают при постоянном объеме, то есть объем остается постоянным, а давление и температура изменяются. В этом процессе выполняется закон Бойля-Мариотта, который для газа записывается как:

где $P_1$ и $T_1$ — начальное давление и температура, $P_2$ и $T_2$ — конечное давление и температура. Температуру нужно пересчитать в Кельвины, так как все термодинамические уравнения должны быть в абсолютных температурах.

Начальная температура $T_1$ равна 22°C, что в Кельвинах:

Конечное давление при охлаждении до начального давления $P_2 = P_1$, так что закон Бойля-Мариотта примет вид:

Сокращаем $P_1$ с обеих сторон:

Отсюда:

То есть, температура в конце процесса будет равна начальной температуре 295 K.

Итог

Конечная температура $T_2$ после того, как газ охладился при постоянном объеме до начального давления, будет 295 K, что соответствует 22°C.