При свободном падении с высоты h камень за последнюю секунду падения прошел путь 0,75 h. Найдите h и время падения камня. примите ускорение... свободного падения равным 10 м/с в квадрате, влияние воздуха на движение камня считайте пренебрежимо малым

Для решения этой задачи можно воспользоваться формулами кинематики для движения с постоянным ускорением. У нас есть два неизвестных: высота падения $h$ и время падения $t$. Мы также знаем, что ускорение свободного падения $g = 10 \, \text{м/с}^2$, а путь, пройденный камнем за последнюю секунду падения, составляет $0.75 h$.

Шаг 1. Формулы для свободного падения

Для тела, падающего с высоты $h$ под действием постоянного ускорения $g$, используем стандартные формулы:

1. Путь за время падения $t$:

   $$h = \frac{1}{2} g t^2$$

   Эта формула дает высоту падения через время.

2. Путь, пройденный за $t-1$ секунд (то есть за всё время до последней секунды):

   $$h_{t-1} = \frac{1}{2} g (t - 1)^2$$

3. Путь, пройденный за последнюю секунду (то есть с $t-1$ до $t$):

   $$\Delta h = h - h_{t-1} = \frac{1}{2} g t^2 - \frac{1}{2} g (t - 1)^2$$

   Раскроем скобки и упростим выражение для пути за последнюю секунду:

   $$\Delta h = \frac{1}{2} g \left(t^2 - (t - 1)^2\right)$$ $$\Delta h = \frac{1}{2} g \left(t^2 - (t^2 - 2t + 1)\right)$$ $$\Delta h = \frac{1}{2} g (2t - 1)$$

Шаг 2. Условие задачи

Нам дано, что путь, пройденный за последнюю секунду, равен $0.75 h$. То есть:

Подставим выражение для $\Delta h$:

Так как $h = \frac{1}{2} g t^2$, подставим это в уравнение:

Сокращаем на $\frac{1}{2} g$ (так как $g \neq 0$):

Шаг 3. Решение квадратного уравнения

Приводим уравнение к стандартному виду:

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от десятичных коэффициентов:

Теперь решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант $\Delta$ для уравнения $at^2 + bt + c = 0$ вычисляется по формуле:

Для нашего уравнения $a = 3$, $b = -8$, $c = 4$:

Корни уравнения:

Таким образом, два возможных значения для $t$: