Поезд весом 1000т поднимается вверх по уклону 0,005 со скоростью 36км/час, а по уклону 0,0025 со скоростью 45 км/час. С какой скоростью может двигаться поезд по горизонтальному пути, считая развиваемую паровозом мощность и силу сопротивления движению во всех случаях одинаковыми? Ответ выразить в км/час.

Для решения этой задачи необходимо воспользоваться основными физическими формулами, учитывающими силы и мощность при движении поезда.

Дано:

1. Масса поезда $m = 1000 \, \text{т} = 10^6 \, \text{кг}$.

2. Уклон $i_1 = 0,005$, скорость $v_1 = 36 \, \text{км/ч} = 10 \, \text{м/с}$.

3. Уклон $i_2 = 0,0025$, скорость $v_2 = 45 \, \text{км/ч} = 12,5 \, \text{м/с}$.

4. Требуется найти скорость по горизонтальному пути $v_3$ при условии одинаковой мощности $N$ и силы сопротивления движению $F_{\text{сопр}}$.

Рассуждения и решение:

1. Силы, действующие на поезд:

   При движении по уклону с углом наклона $i$, на поезд действует:

   • Сила сопротивления движению $F_{\text{сопр}}$;
   • Сила, необходимая для преодоления уклона, $F_{\text{уклон}} = mg \cdot i$.

   Тогда общая сила, которую развивает паровоз, равна:

   $$F_{\text{тяг}} = F_{\text{сопр}} + F_{\text{уклон}}.$$

2. Мощность паровоза:

   Мощность $N$, развиваемая паровозом, можно выразить как:

   $$N = F_{\text{тяг}} \cdot v,$$

   где $v$ — скорость поезда.

   Подставляя $F_{\text{тяг}}$, получаем:

   $$N = (F_{\text{сопр}} + mg \cdot i) \cdot v.$$

   Поскольку мощность и сила сопротивления движению одинаковы во всех случаях, можем записать уравнение мощности для двух уклонов и горизонтального пути.

3. Уравнения для уклонов:

   Для первого уклона ($i_1 = 0,005$, $v_1 = 10 \, \text{м/с}$):

   $$N = (F_{\text{сопр}} + mg \cdot i_1) \cdot v_1.$$

   Подставим значения:

   $$N = (F_{\text{сопр}} + 10^6 \cdot 9,8 \cdot 0,005) \cdot 10.$$

   Для второго уклона ($i_2 = 0,0025$, $v_2 = 12,5 \, \text{м/с}$):

   $$N = (F_{\text{сопр}} + mg \cdot i_2) \cdot v_2.$$

   Подставим значения:

   $$N = (F_{\text{сопр}} + 10^6 \cdot 9,8 \cdot 0,0025) \cdot 12,5.$$

   Так как мощность $N$ одинакова в обоих случаях, приравняем правые части уравнений:

   $$(F_{\text{сопр}} + 10^6 \cdot 9,8 \cdot 0,005) \cdot 10 = (F_{\text{сопр}} + 10^6 \cdot 9,8 \cdot 0,0025) \cdot 12,5.$$

   Решим это уравнение относительно $F_{\text{сопр}}$.

4. Решение для $F_{\text{сопр}}$:

   Раскрываем скобки и подставляем числовые значения:

   $$(F_{\text{сопр}} + 49000) \cdot 10 = (F_{\text{сопр}} + 24500) \cdot 12,5.$$

   Умножим и упростим:

   $$10 \cdot F_{\text{сопр}} + 490000 = 12,5 \cdot F_{\text{сопр}} + 306250.$$

   Переносим $F_{\text{сопр}}$