В воде плавает в вертикальном положении частично погруженный деревянный цилиндр.
Цилиндр погрузили немного глубже в воду и отпустили, после этого он начал колебаться вдоль своей оси симметрии с амплитудой х(max)=1,0 см. Определите максимальную кинетическую энергию колебаний цилиндра, если площадь его основания S=76см^2. Сопротивление воды пренебречь. Плотность воды 1,0г/см^3. Модуль ускорения свободного падения g=10 м/с^2.
Ответ должен получиться 3,8 мДж

Для решения задачи определим максимальную кинетическую энергию колебаний цилиндра, используя законы гидростатики и теорию гармонических колебаний.

Дано:

• Амплитуда колебаний $x_{\text{max}} = 1,0 \, \text{см} = 0,01 \, \text{м}$
• Площадь основания цилиндра $S = 76 \, \text{см}^2 = 76 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2 = 0,0076 \, \text{м}^2$
• Плотность воды $\rho = 1,0 \, \text{г/см}^3 = 1000 \, \text{кг/м}^3$
• Ускорение свободного падения $g = 10 \, \text{м/с}^2$

Решение:

1. Сила Архимеда
   При погружении цилиндра в воду на глубину $x$, на него действует сила Архимеда:

   $$F_{\text{A}} = \rho g S x$$

   Эта сила восстанавливающая и линейно зависит от смещения $x$. Она играет роль силы в упругой системе, где аналогом жесткости пружины является величина $k$.

2. Жесткость системы $k$
   Запишем коэффициент жесткости:

   $$k = \frac{F_{\text{A}}}{x} = \rho g S$$

   Подставим значения:

   $$k = 1000 \cdot 10 \cdot 0,0076 = 76 \, \text{Н/м}$$

3. Максимальная кинетическая энергия $E_{\text{max}}$
   В гармонических колебаниях максимальная кинетическая энергия равна максимальной потенциальной энергии, которая определяется как:

   $$E_{\text{max}} = \frac{1}{2} k x_{\text{max}}^2$$

   Подставим значения:

   $$E_{\text{max}} = \frac{1}{2} \cdot 76 \cdot (0,01)^2$$

   Сначала вычислим $(0,01)^2$:

   $$(0,01)^2 = 0,0001$$

   Далее:

   $$E_{\text{max}} = \frac{1}{2} \cdot 76 \cdot 0,0001 = 0,0038 \, \text{Дж}$$

   Переведем результат в миллиджоули:

   $$E_{\text{max}} = 3,8 \, \text{мДж}$$

Ответ:

Максимальная кинетическая энергия колебаний цилиндра составляет 3,8 мДж.