Два приятеля должны как можно скорееДва приятеля должны как можно скорее добраться из одного поселка в другой. За сколько времени им удастся это сделать, если у них есть один велосипед на двоих? Скорость езды каждого из приятелей на велосипеде – 20 км/ч, скорость ходьбы – 6 км/ч, а расстояние между поселками 40 км. Ехать вдвоем на велосипеде нельзя.

Для решения задачи нужно учесть, что два приятеля могут передвигаться только по одному на велосипеде, а второй в это время идет пешком. Таким образом, они могут чередоваться: один едет на велосипеде, другой идет пешком, а затем они меняются местами.

Шаг 1: Определение времени движения одного человека

• Скорость на велосипеде: 20 км/ч.
• Скорость пешком: 6 км/ч.
• Расстояние между поселками: 40 км.

Если один из приятелей преодолеет всё расстояние на велосипеде, это займет $t_{\text{велосипед}} = \frac{40}{20} = 2$ часа.

Если он пройдет всё расстояние пешком, это займет $t_{\text{пешком}} = \frac{40}{6} \approx 6,67$ часа.

Очевидно, такие сценарии не оптимальны, потому что второй человек не будет использовать велосипед.

Шаг 2: Чередование езды и ходьбы

Чтобы минимизировать общее время, приятели должны максимально использовать велосипед. Для этого они договорятся чередоваться: первый едет часть пути, затем оставляет велосипед и идет пешком, а второй забирает велосипед и едет дальше.

Пусть один отрезок пути равен $x$ км:

1. Первый едет на велосипеде $x$ км, оставляет велосипед и идет пешком, пока второй доезжает до этого места на велосипеде.
2. Второй садится на велосипед, едет дальше $x$ км, оставляет велосипед и идет пешком, пока первый доезжает на велосипеде.

Таким образом, путь делится на равные интервалы $x$, которые оба проходят за одинаковое время.

Шаг 3: Оптимизация $x$

Для каждого отрезка $x$ потребуется время:

• Первый едет на велосипеде $x$ км за $\frac{x}{20}$ часов.
• Второй идет пешком $x$ км за $\frac{x}{6}$ часов.

Чтобы сократить общее время, они чередуются. Их совместное движение на $x$ км занимает время, равное:

Для равномерного чередования отрезки $x$ выбираются так, чтобы время езды и ходьбы совпадало. Решим уравнение:

Шаг 4: Полное расстояние

Общее время на 40 км будет суммой времени для всех $x$.

Решение задачи продолжение: нахождение оптимального времени

Сейчас разберём полный сценарий распределения пути между двумя людьми. Пусть они чередуются на пути.

Шаги:

1. Делим путь 40 км на равные отрезки с чередованием.

• Один из приятелей в данный момент на велосипеде, другой же идёт.

А если проверил баланса sdu

Решим задачу без путаницы и с конкретным объяснением оптимального подхода.

Основной принцип

Приятели должны поочерёдно пользоваться велосипедом, чтобы оба могли передвигаться быстрее, чем если бы один шёл пешком всё время. Задача в том, чтобы они прибыли одновременно, минимизировав общее время в пути.

Шаг 1: Пусть $x$ км — расстояние, которое один из приятелей проходит на велосипеде до смены.

• Первый приятель едет $x$ км на велосипеде, затем оставляет его.
• Второй в это время идёт пешком на то же $x$ км и забирает велосипед.

Они меняются ролями на следующем отрезке. Повторяя это до 40 км, они достигают конечной точки одновременно.

Шаг 2: Время на один отрезок

Для одного $x$ км:

• Время велосипедиста: $t_{\text{велосипед}} = \frac{x}{20}$.
• Время пешехода: $t_{\text{пешком}} = \frac{x}{6}$.

Они должны быть синхронны. Это возможно, если $t_{\text{велосипед}} = t_{\text{пешком}}$, то есть:

Однако это уравнение неверно (нет таких $x$), поэтому путь делится в соотношении, где пешеход и велосипедист попеременно компенсируют асинхруb

Давайте начнем с оптимального решения:

Оптимизация движения

Два приятеля должны максимально эффективно использовать велосипед, чтобы минимизировать общее время пути. Каждый проходит часть пути на велосипеде, а другую — пешком, чередуя роли.

Шаг 1: Пусть $x$ км — расстояние, которое один из приятелей проходит на велосипеде до смены.

• Первый человек едет $x$ км на велосипеде, а затем идет пешком, пока второй едет на велосипеде те же $x$ км.
• Их время на каждый такой отрезок должно быть одинаковым.

Шаг 2: Время на прохождение $x$ км

• Время на велосипеде: $t_{\text{велосипед}} = \frac{x}{20}$.
• Время пешком: $t_{\text{пешком}} = \frac{x}{6}$.

Для синхронизации $t_{\text{велосипед}} = t_{\text{пешком}}$. Но это невозможно, так как скорости различны. Вместо этого используется чередование таким образом, чтобы оба прибыли одновременно.

Шаг 3: Решение через общий путь

Каждый из них в итоге преодолеет 40 км (по очереди двигаясь пешком и на велосипеде). Однако эффективная средняя скорость учитывает сочетание их движений.

1. Рассчитаем среднюю скорость $v_{\text{средн}}$ одного человека, если он часть пути идет, а часть едет:

   $$v_{\text{средн}} = \frac{2}{\frac{1}{20} + \frac{1}{6}} = \frac{2}{\frac{6 + 20}{120}} = \frac{2 \cdot 120}{26} \approx 9,23 \, \text{км/ч}.$$

2. Учитывая, что оба чередуются, их общее время составит:

   $$t = \frac{40}{v_{\text{средн}}} \approx \frac{40}{9,23} \approx 4,33 \, \text{часа}.$$

Ответ

Приятели доберутся до поселка за примерно 4 часа 20 минут, чередуя езду на велосипеде и ходьбу.