X = 6 - 10t + 2t² а) опишите характер движения тела б) найдите начальную координату, модуль и направление начальной скорости и ускорения в) напишите уравнение зависимости скорости от времени г) найдите координату, путь и скорость тела через 2 с д) постройте графики скорости и ускорения от времени

Рассмотрим задачу подробно по всем пунктам:

Дано: $X(t) = 6 - 10t + 2t^2$

а) Характер движения тела

Функция $X(t)$ описывает зависимость координаты тела от времени. Это квадратная функция, которая характеризуется параболой. Коэффициент при $t^2$ ($+2$) положительный, поэтому ветви параболы направлены вверх.

Из этого следует:

• Тело сначала движется в сторону уменьшения координаты ($X$ уменьшается), затем останавливается (в точке вершины параболы) и начинает двигаться в сторону увеличения координаты ($X$ увеличивается).
• Такое движение называется равноускоренным, поскольку ускорение $a(t)$ является постоянным (второй производной координаты).

б) Начальная координата, модуль и направление начальной скорости и ускорения

1. Начальная координата $X_0$: Подставим $t = 0$ в $X(t)$:

   $$X_0 = 6 - 10 \cdot 0 + 2 \cdot 0^2 = 6.$$

   Ответ: Начальная координата $X_0 = 6$ (м).

2. Начальная скорость $v_0$: Скорость $v(t)$ — это первая производная $X(t)$ по времени:

   $$v(t) = \frac{dX(t)}{dt} = -10 + 4t.$$

   Подставим $t = 0$:

   $$v_0 = -10 + 4 \cdot 0 = -10 \, \text{м/с}.$$

   Модуль скорости $|v_0| = 10 \, \text{м/с}$. Знак минус показывает, что скорость направлена в отрицательном направлении координатной оси.

3. Ускорение $a$: Ускорение $a(t)$ — это вторая производная $X(t)$ по времени:

   $$a(t) = \frac{d^2X(t)}{dt^2} = 4 \, \text{м/с}^2.$$

   Ускорение постоянно и направлено в положительном направлении координатной оси.

Ответ:

• Начальная скорость: $v_0 = -10 \, \text{м/с}$, модуль $10 \, \text{м/с}$, направление — отрицательное.
• Ускорение: $a = 4 \, \text{м/с}^2$, направление — положительное.

в) Уравнение зависимости скорости от времени

Скорость $v(t)$ уже найдена как первая производная $X(t)$:

Ответ: Уравнение скорости: $v(t) = -10 + 4t$.

г) Координата, путь и скорость тела через $t = 2 \, \text{с}$

1. Координата $X(2)$: Подставим $t = 2$ в $X(t)$:

   $$X(2) = 6 - 10 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 = 6 - 20 + 8 = -6 \, \text{м}.$$

2. Скорость $v(2)$: Подставим $t = 2$ в $v(t)$:

   $$v(2) = -10 + 4 \cdot 2 = -10 + 8 = -2 \, \text{м/с}.$$

3. Путь: Для подсчета пути нужно учитывать изменение направления движения.

   • Тело начинает движение в отрицательном направлении с начальной скоростью $-10 \, \text{м/с}$.
   • В момент времени, когда скорость $v(t) = 0$, тело меняет направление. Найдем этот момент: $$v(t) = -10 + 4t = 0 \implies t = \frac{10}{4} = 2.5 \, \text{с}.$$ До $t = 2 \, \text{с}$, тело еще не успело изменить направление, поэтому путь совпадает с модулем изменения координаты: $$\text{Путь} = |X(2) - X(0)| = |-6 - 6| = 12 \, \text{м}.$$

Ответ:

• Координата: $X(2) = -6 \, \text{м}$.
• Скорость: $v(2) = -2 \, \text{м/с}$, направлена в отрицательную сторону.
• Путь: $12 \, \text{м}$.

д) Графики скорости и ускорения от времени

1. График скорости $v(t) = -10 + 4t$: Это линейная функция с начальным значением $v(0) = -10$ и угловым коэффициентом $4$. График — прямая линия, пересекающая ось времени (