Идеальный одноатомный газ в количестве ν=0,09 моль находится в равновесии в вертикальном цилиндре

Ответы на вопрос

Отвечает Олина Инга.

Рассмотрим задачу. Нам нужно определить площадь поршня $S$ , зная изменение высоты поршня ( $\Delta h$ ), количество вещества газа ( $\nu$ ), массу поршня ( $m$ ), изменение температуры газа ( $\Delta T$ ), внешнее атмосферное давление ( $p$ ), и учитывать, что трения нет.

Шаг 1: Уравнение состояния идеального газа

Для идеального газа выполняется уравнение:

pV = \nu R T,

где:

$p$ — давление,
$V$ — объем газа,
$\nu$ — количество вещества,
$R$ — универсальная газовая постоянная ( $R = 8,31 \, \text{Дж/(моль·К)}$ ),
$T$ — температура газа.

Объем газа определяется как:

V = S h,

где $S$ — площадь поршня, $h$ — высота газа под поршнем.

Шаг 2: Учет давления на поршень

Давление, которое оказывает газ, складывается из атмосферного давления и давления от веса поршня:

p = p_\text{атм} + \frac{mg}{S},

где:

$p_\text{атм} = 100 \, \text{кПа} = 10^5 \, \text{Па}$ ,
$m = 5 \, \text{кг}$ ,
$g = 9,8 \, \text{м/с}^2$ .

Шаг 3: Изменение давления при нагревании

Когда газ нагревается, объем изменяется на:

\Delta V = S \Delta h,

а температура — на $\Delta T = 16 \, \text{К}$ .

Из уравнения состояния для идеального газа:

\Delta (pV) = \nu R \Delta T.

Так как $\Delta V = S \Delta h$ , и $p$ практически не изменяется, можно записать:

p \Delta V = \nu R \Delta T.

Подставляем выражение для изменения объема:

p S \Delta h = \nu R \Delta T.

Шаг 4: Выражение для площади поршня

Выразим площадь поршня $S$ :

S = \frac{\nu R \Delta T}{p \Delta h}.

Подставим известные данные:

$\nu = 0,09 \, \text{моль}$ ,
$R = 8,31 \, \text{Дж/(моль·К)}$ ,
$\Delta T = 16 \, \text{К}$ ,
$p = 10^5 \, \text{Па}$ ,
$\Delta h = 4 \, \text{см} = 0,04 \, \text{м}$ .

S = \frac{0,09 \cdot 8,31 \cdot 16}{10^5 \cdot 0,04}.

Шаг 5: Расчёт

Выполним вычисления:

S = \frac{0,09 \cdot 8,31 \cdot 16}{10^5 \cdot 0,04} = \frac{11,9712}{4000} \approx 0,00299 \, \text{м}^2.

Ответ

Площадь поршня составляет:

S \approx 0,003 \, \text{м}^2 \, (3 \, \text{см}^2).