Физика, даю 35 баллов. Пружину игрушечного пистолета сжимают на длину 4 см и совершают выстрел в
горизонтальном направлении; при этом шарик массой m вылетает со скоростью
5 м/с. Жесткость пружины пистолета равна k. Определите значение величины,
обозначенной *. Во сколько раз изменится скорость вылета, если шарик заменить
на другой, в 2.5 раз больший по массе?

Задача, которую вы описали, касается законов сохранения энергии и их применения в механике, в частности, в механизме пружины, использующейся в игрушечном пистолете.

Часть 1. Определение величины * (которое, вероятно, относится к начальной энергии пружины или жесткости пружины).

1.1 Работа пружины

Для начала, можно использовать закон сохранения механической энергии. В момент сжатия пружины в ней хранится потенциальная энергия, которая затем преобразуется в кинетическую энергию при вылете шарика.

Потенциальная энергия пружины (при сжатии на $x = 4 \, \text{см} = 0.04 \, \text{м}$) выражается через жесткость пружины $k$:

где:

• $x = 0.04 \, \text{м}$ — сжатие пружины,
• $k$ — жесткость пружины (в Н/м).

Когда пружина высвобождает свою энергию, вся эта энергия передается шарикам в виде кинетической энергии. Кинетическая энергия шарика при вылете со скоростью $v = 5 \, \text{м/с}$ равна:

где:

• $m$ — масса шарика,
• $v = 5 \, \text{м/с}$ — скорость шарика.

Согласно закону сохранения энергии, вся энергия пружины должна быть преобразована в кинетическую энергию шарика:

Упрощаем и решаем относительно $k$:

Подставляем известные значения:

Таким образом, жесткость пружины $k$ выражается как $15625 m$, где $m$ — масса шарика.

Часть 2. Как изменится скорость вылета при замене шарика на другой, в 2.5 раза более тяжелый?

Теперь рассмотрим ситуацию, когда шарик становится в 2.5 раза тяжелее. Обозначим новую массу шарика как $m' = 2.5 m$.

Снова применим закон сохранения энергии:

где $v'$ — новая скорость вылета шарика.

Заменяем $m'$ на $2.5 m$:

Поскольку мы знаем, что $k x^2 = m v^2$, то можем подставить это значение:

Упростим и выразим $v'$:

Таким образом, новая скорость вылета шарика будет примерно $3.16 \, \text{м/с}$.

Часть 3. Во сколько раз изменится скорость вылета?

Для того чтобы определить, во сколько раз изменится скорость, нужно сравнить новые и старые значения скорости. Мы нашли, что начальная скорость $v = 5 \, \text{м/с}$, а новая скорость $v' \approx 3.16 \, \text{м/с}$.

Чтобы найти во сколько раз уменьшилась скорость, делим старую скорость на новую:

Таким образом, скорость уменьшится в примерно 1.58 раза.

Ответ:

1. Жесткость пружины $k = 15625 m$, где $m$ — масса шарика.
2. Если заменить шарик на другой, в 2.5 раза более тяжелый, то скорость вылета уменьшится в $1.58$ раза.