При переправе через реку шириной 60 м надо попасть в точку на 80 м ниже по течению, чем точка старта. Лодочник управляет моторной лодкой так, что она движется точно к цели со скоростью 8 м/с относительно берега. Какова при этом скорость лодки относительно воды, если скорость течения реки 2,8 м/с?
Очень надо

Рассмотрим задачу подробно. У нас есть река шириной 60 м и задача добраться до точки на противоположном берегу, которая находится на 80 м ниже по течению. Лодочник управляет лодкой так, чтобы она двигалась к цели с результирующей скоростью 8 м/с относительно берега. При этом известно, что скорость течения реки составляет 2,8 м/с.

Разделим решение на этапы:

1. Составление системы скоростей

Лодка движется относительно воды, а вода течёт относительно берега. Поэтому результирующая скорость лодки относительно берега складывается из:

• Горизонтальной составляющей (по оси $x$): это движение по течению (вдоль реки). Она зависит от скорости течения реки и горизонтальной скорости лодки относительно воды.
• Вертикальной составляющей (по оси $y$): это движение перпендикулярно течению (поперёк реки). Она определяется вертикальной скоростью лодки относительно воды.

Чтобы двигаться точно к цели, результирующая скорость лодки должна быть направлена под углом, чтобы компенсировать снос течения. Это направление задаётся так, чтобы лодка в итоге попала в точку назначения на 80 м ниже точки старта.

2. Вывод уравнений

Скорость лодки относительно берега равна 8 м/с, и она направлена под углом к горизонтали. Разложим эту скорость на компоненты:

• По оси $x$: скорость лодки относительно берега равна $V_x = 2,8 \, \text{м/с}$, так как лодка движется точно к точке назначения, компенсируя скорость течения.
• По оси $y$: скорость лодки относительно берега равна $V_y$.

По условию:

где $V_{\text{лодка,x}}$ — горизонтальная скорость лодки относительно воды.

Для вертикального направления:

где $V_{\text{лодка,y}}$ — вертикальная скорость лодки относительно воды.

Поскольку результирующая скорость лодки равна 8 м/с:

3. Решение уравнений

Подставляем значения:

Посчитаем $V_y$:

Теперь найдём скорость лодки относительно воды. Эта скорость складывается из её горизонтальной и вертикальной составляющих. Поскольку горизонтальная составляющая лодки относительно воды компенсирует течение:

Вертикальная составляющая равна $V_y$, то есть:

Полная скорость лодки относительно воды:

Ответ:

Скорость лодки относительно воды равна $7,5 \, \text{м/с}$.